今日で第3章「図形と計量」が終わりだ。
つまりはこの問題集「チャート式 数学1」が終わりということになる。
最後なのでがんばっていこう。

まずは問52。
4辺の長さが分かっているが、角度が分からない凸四角形ABCDについて、\(\triangle \)ABDの面積を\(S\)、\(\triangle \)BCDの面積を\(T\)とする。
(1)は\({ S }^{ 2 }+{ T }^{ 2 }\)のとりうる値の範囲を求めよという問題だ。
ヒントにあるように\(\angle DAB=\alpha \)とおくと、余弦定理や面積の公式などから\({ S }^{ 2 }+{ T }^{ 2 }\)は\(\cos { \alpha } \)の2次式として表される。
あとは\(\cos { \alpha } =t\)などとおいて、計算すればいい。

ただここで問題なのは\(\alpha \)の範囲である。
条件としては四角形ABCDが凸四角形であるということだ。
ヒントによると凸四角形とは内角が4つとも\(180°\)より小さい四角形だという。
つまり、四角形の4つの角について以下が成り立つ。

また、余弦定理から以下の関係も求められる。

他にも正弦定理からも方程式が求められる…
となんとか\(\angle A=\alpha\)の範囲を計算しようと思ったが、あまりに面倒なのでやめた…

次に僕は三角形の成立条件を考えてみた。

という三角形の辺の関係式だ。
しかしこれだと\(0°<\alpha <90°\)となってしまうのだ。
正答は\(30°<\alpha <90°\)である。
やはり今回は凸四角形の条件ということで、三角形の成立条件ではうまくいかないみたいだ。
三角形の成立条件だけだと、ブーメランみたいな形の四角形でもOKということになってしまうからな。

解答例によると実際に図示してみて考えるといいらしい。
今回は\(\angle C\)および\(\angle D\)が\(180°\)となるときに、うまいこと四角形ABCDが直角三角形になる。
これにより\(\alpha\)の範囲が求められるという。
計算ではなかなか範囲を求めるのは難しいので、図を描いてみるというのが正解だったんだな～…
(1)が分かれば(2)は簡単だ。

次は問53。
正五角形についての問題だ。
これはヒントにあるように、正五角形\(F\)と正五角形\(G\)が相似のとき、長さが\(k\)倍なら面積は\({ k }^{ 2 }\)倍であることを利用すればいいみたい。
平面図形がなんであれ、相似なら面積は\({ k }^{ 2 }\)倍になるんだな。
覚えておこう。
あとは計算が面倒だが、がんばれば解ける。
僕は計算ミスしてしまったので、気をつけないといけない。

そして問54。
(1)は簡単。
(2)と(3)の問題を僕は間違えてしまった。
直円錐台の側面の展開図をちゃんと描いて、ABの延長とCDの延長の交点をOとするのがポイントみたいだ。
そしたら断面図の関係と円周の長さの関係を考えて、余弦定理から最短の曲線BEの長さが求まるらしい。
(3)の線分CPの長さは、三角形の面積の公式を使うと簡単に求められるみたい。
なるほど…

最後に問55。
三角柱を点ABCを通る平面で切断した立体の体積を求めるという問題だ。
ヒントによるとまず3つの三角錐A-DEF、A-BEF、A-BFCに分割して考える。
1つ目の三角錐A-DEFの体積は普通に求まる。
また、A-BEFとA-BFCの体積は底面をうまくとらえて等積変形するといいらしい。
つまり三角錐の底面が同じで高さが同じなら、体積が等しいという関係を使うのだ。
今、三角柱の3辺は平行なので、うまい具合に2つ目の三角錐A-BEFと三角錐D-BEFの体積が等しくなる。
同様に3つ目の三角錐A-BFCは三角錐D-BFCと体積が等しくなり、これは三角錐E-CDFと体積が等しくなるという。
不思議だ…
あっさりと立体の体積が求められた。
勉強になるな。

今回、僕は間違えまくってしまった。
図形問題が平面、立体どちらも僕は苦手みたいだな～。
とにかくこれで数学1の総合演習の問題が全て終わった。

次回からは数学Aの問題を解いていこうと思う。