砂田 利一 (Escrito por)
数研出版 (Casa editorial de)
20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento)
Libro (Formato)
今日も進めていくぞ～。
問15からだ。
(1)は解の公式を利用して解を求め、誘導にしたがって因数分解すればいい。
(2)は\(P\left( x,y \right) =0\)を、\(x\)についての2次方程式と考えて解の公式で解く。
Y\(x=f\left( y \right) \)、\(x=g\left( y \right) \)とすると、\(P\left( x,y \right) =\left\{ x-f\left( y \right) \right\} \left\{ x-g\left( y \right) \right\} \)と因数分解できる。
今、\(P\left( x,y \right)\)が\(x\)、\(y\)についての1次式の積として表されるので、解の公式で求められた解の\(\sqrt { } \)内の\(y\)についての2次式が、\(y\)の1次式の平方数（2乗）の形にならないといけない。
このとき\(y\)についての2次式は重解をもち、判別式\(D=0\)ser。
これから\(k\)が求まる。
最初は\(P\left( x,y \right) =0\)を\(x\)についての2次式とみて解を求め、次は出てきた解の\(y\)についての2次式に注目して判別式を利用するというおもしろい問題だった。
あと気になったのは
$$x=\frac { -\left( 4+y \right) \pm \sqrt { { \left( 3y+2 \right) }^{ 2 } } }{ 2 } ,\frac { -\left( 4+y \right) \pm \sqrt { { \left( 3y-2 \right) }^{ 2 } } }{ 2 } $$
となったときの根号（\(\sqrt { } \)）部分の計算についてだ。
通常は絶対値を付けて\(\left| 3y+2 \right| \)、\(\left| 3y-2 \right| \)とする。
Y\(y\)の値について場合分けして絶対値を外すことになるだろう。
しかし今回は解に\(\pm\)がついているので、場合分けをしなくても結果は同じになるみたいだ。
$$\pm \sqrt { { \left( 3y+2 \right) }^{ 2 } } =\pm \left( 3y+2 \right) $$
ということだな。
\(\pm \sqrt { { \left( 3y-2 \right) }^{ 2 } } \)についても同じ。
そして問16。
$$f\left( { x }^{ 2 }+a \right) -x=\left( { x }^{ 2 }-x+a \right) \left( { x }^{ 2 }+x+a+1 \right) =0\tag{1}$$
(1)式のすべての解は方程式\(f\left( { x } \right) -x={ x }^{ 2 }-x+a=0\)の解であるというので、
$${ x }^{ 2 }+x+a+1=0\tag{2}$$
のすべての解が
$${ x }^{ 2 }-x+a=0\tag{3}$$
の解になればいい。
(2)式について解の公式を使い、(3)式から(2)式を使って\({ x }^{ 2 }\)を消去したものに、\(x\)を代入すると\(a\)が求められるな。
最後に問17。
Primero(1)。
条件\(a<b\)より、\(\frac { 1 }{ b } <\frac { 1 }{ a } \)ser。
\(\frac { 2 }{ b } <\frac { 1 }{ a } +\frac { 1 }{ b } <\frac { 1 }{ 4 } \)となり\(b>8\)ser。
あとは最少の\(b=9\)として\(a\)を求めればいい。
(2)は変数が1つ増えて3つになっているが、(1)と同様に\(c\)の範囲を求めて最も小さい\(c\)を決めて、\(a\)、\(b\)もこれまた同様に求めればいいな。
これで第1章「方程式と不等式」の総合演習がすべて終わった。
今度から第2章「2次関数」について進めていこう。
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