今日も場合の数の問題を解いていく。
まずは問15。
僕は次のようにして解いた。
まず、回転して重なる場合も異なる図形であるとすると、全ての塗り分け方は\({ 2 }^{ 9 }=512\)通りある。
また回転しても形が変わらない塗り分け方を数えると8通りある。
さらに、回転したら形が2つになる塗り分け方は12通りある。
残りは回転したら形が4つになる塗り分け方である。
よってその塗り分け方は、

通りである。
これらから、求める答えは

通りだ。

しかしこのやり方だと、回転したとき形が2つになる塗り分け方を数えるのが分かりにくい。
数えもれが出てしまう可能性が大だ。
解答例では9マスを中央の正方形と周りの4つの長方形に分けて計算していた。
長方形の塗り方は4通りで、この中から周りの4つの長方形がの塗り分け方が

1. 1種類のとき
2. 2種類のとき
3. 3種類のとき
4. 4種類のとき

を場合分けして考えればいいという。
そういうものか～

次は問16。
(1)、(2)は\(a=6\)なので南北方向の敷き詰め方は決まる。
あとは東西方向の長さに着目すればいい。
(3)はヒントによると、まず辺ABに沿った部分から敷くと4通りが考えられる。
そして、それらの場合の残り部分の敷き詰め方を考えればいい。
(1)、(2)のやり方も使って解いていくことになるが、僕は計算間違いをしてしまった。
なかなかミスが多くて困ったものだ。

その次は問17。
展開式の一般項は二項定理を用いて次式で表される。

あとは\({ x }^{ 6 }\)について\(2j+3k=6\)を満たす\(0\)以上の整数\(\left( j,k \right) \)を考えればいい。
そうしたら\(m\)の範囲を求めて、それぞれの\(m\)について\(n\)が存在するかを考える。
これで(1)が解けた。
(1)が分かれば(2)は簡単に解ける。

最後に問18。
(1)は背理法を使うなりして簡単に解ける。
まぁ背理法を使わなくても解けるみたいだけどな。
(2)はヒントによると以下のようにするのがポイントみたいだ。

\({ \left( 1+1 \right) }^{ p }\)に二項定理を利用すると、第1項と第p+1項がそれぞれ\(1\)なので、うまい具合に\(-2\)と打ち消しあう。
あとは(1)を利用すれば素数\(p\)で割り切れると分かる。
\(\left( { 2 }^{ p-1 }-1 \right) \)に\(2\)をかけるところがコツだな～
きれいに解ける問題だったが、僕はヒントがなければ分からなかったような気がする。

とにかくこれで第1章「場合の数」の総合演習が終わった。
次回からは第2章「確率」の総合演習を解いていこう。