チャート式 数学1 part6【2次関数編】
今日から2次関数の総合演習をやっていこう。
問18からだ。
(1)は普通に計算すればいい。
(2)は2次関数を\(x\)軸方向に\(q\)、\(y\)軸方向に\(-2\)だけ平行移動し、原点に対して対称移動せよという。
これは\(x\)を\(x-q\)、\(y\)を\(y+2\)とした後で、\(x\)を\(-x\)、\(y\)を\(-y\)とおけばOKだ。
次は問19。
条件から\(z\)を消去して\(x\)の2次式とみて平方完成する。
さらに得られた頂点を\(y\)の2次式とみて平方完成すれば最小値が求まるみたいだ。
そういうものか。
うまくできているんだな。
別解では下のように計算していた。
$$\begin{eqnarray*}{ x }^{ 2 }+4{ y }^{ 2 }+9{ z }^{ 2 }&=&{ \left( x-\frac { 1 }{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( 2y-\frac { 1 }{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( 3z-\frac { 1 }{ 3 } \right) }^{ 2 }\\
&+&2\cdot \frac { 1 }{ 3 } \left( x+2y+3z \right) -3{ \left( \frac { 1 }{ 3 } \right) }^{ 2 }\end{eqnarray*}$$
&+&2\cdot \frac { 1 }{ 3 } \left( x+2y+3z \right) -3{ \left( \frac { 1 }{ 3 } \right) }^{ 2 }\end{eqnarray*}$$
こうすると\(x+2y+3z=1\)を満たすようにうまいぐあいに平方完成される。
でもこれはなかなか思いつかないな～。
あとはインターネットで調べてみたら\(Y=2y\)、\(Z=3z\)とおいて、3次元の平面と原点を中心とする球の関係に帰着させて解いている人がいた。
このWebサイトに書かれていた。
平面と球が接するとき球の半径は最少になるので、あとは距離の公式とかベクトルを使って解けるみたい。
なるほどな～。
数学Bのベクトルに進んだ頃にまた考えてみるか。
そして問20。
これは\(a\)の範囲で場合分けして、最大値\(G\left( a \right) \)と最小値\(g\left( a \right) \)を求める。
あとは\(a\)についてグラフを書いて、それぞれの最小値を求めればいいだろう。
今日はここで終わりにする。
