Formules de graphique Mathématiques II Partie 1 [Équations et preuves]

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• Diagramme part16 math 1 [forme et pesant] Toshikazu Sunada (Rédigé par)Nombre de publications de recherche (Maison d’édition)2003Le 1er avril. (Date de sortie)Couverture rigide (Format) 今日で第3章「図形と計量」が終わりだ。つまりはこの問題集「チャート式 数学1」が終わりということになる。最後なのでがんばっていこう。 まずは問52。4辺の長さが分かっているが、角度が分からない凸四角形ABCDについて、\(\triangle \)ABDの面積を\(S\)、\(\triangle \)BCDの面積を\(T\)とする。(1)は\({ S }^{ 2 }+{ T }^{ 2 }\)のとりうる値の範囲を求めよという問題だ。ヒントにあるように\(\angle DAB=\alpha \)とおくと、余弦定理や面積の公式などから\({ S }^{ 2 }+{ T }^{ 2 }\)は\(\COS { \Alpha } \)の2次式として表される。あとは\(\COS { \Alpha } = t /)Et garder、計算すればいい。 ただここで問題なのは\(\Alpha \)の範囲である。条件としては四角形ABCDが凸四角形であるということだ。ヒントによると凸四角形とは内角が4つとも\(180°\)より小さい四角形だという。Que veux-tu dire、四角形の4つの角について以下が成り立つ。 $$0°<\angle A,\angle B,\angle C,\angle D<180°$$ $$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360°$$ また、余弦定理から以下の関係も求められる。 $$\COS { \angle C } =-1+\sqrt { 3 } \COS { \angle A } $$ $$\COS { \angle D } =-1+\sqrt { 3 } \COS { \angle B } $$ 他にも正弦定理からも方程式が求められる…となんとか\(\angle A=\alpha\)の範囲を計算しようと思ったが、あまりに面倒なのでやめた… 次に僕は三角形の成立条件を考えてみた。 $$\gauche| b-c \right| <un<b+c$$ という三角形の辺の関係式だ。しかしこれだと\(0°<\Alpha <90°\)となってしまうのだ。正答は\(30°<\Alpha <90°\)être。やはり今回は凸四角形の条件ということで、三角形の成立条件ではうまくいかないみたいだ。三角形の成立条件だけだと、ブーメランみたいな形の四角形でもOKということになってしまうからな。 解答例によると実際に図示してみて考えるといいらしい。今回は\(\angle C\)および\(\angle D\)が\(180°\)となるときに、うまいこと四角形ABCDが直角三角形になる。これにより\(\alpha\)の範囲が求められるという。計算ではなかなか範囲を求めるのは難しいので、図を描いてみるというのが正解だったんだな～…(1)が分かれば(2)は簡単だ。 次は問53。正五角形についての問題だ。これはヒントにあるように、正五角形\(F\)と正五角形\(G\)が相似のとき、長さが\(k\)倍なら面積は\({ K }^{ 2 }\)倍であることを利用すればいいみたい。平面図形がなんであれ、相似なら面積は\({ K…
• 1 partie 3    Toshikazu Sunada (Rédigé par) Nombre de publications de recherche (Maison d’édition) 2003Le 1er avril. (Date de sortie) Couverture rigide (Format) 今日も問題を解いていこう。 問8からだ。 (1)では与えられた方程式が\(x=0\)のときには成り立たないので、\(x\neq 0\)と分かる。 よってこの方程式を\({ x }^{ 2 }\)で割ることができる。 あとは普通に解けばいいな。 (2)は実数解を求めよとのこと。 判別式\(D\)が\(D\ge 0\)のとき2次方程式は実数解を持つ。 これに注意して計算すればOKだ。 そして問9。 Aのポンプから注がれる水の量を\(x\)(L/h)、Bのポンプから注がれる水の量を\(y\)(L/h)、貯水池の水の総量を\(z\)(L)などとおく。 このとき、\(x,y>0\)être。 あとは方程式を2つ立てて\(z\)を消去し、\(x\)を\(y\)で表す。 求める時間は\(\frac { z }{ y } \)で表されて、これに代入すれば終わりだな。 しかし僕は途中で計算ミスをして間違えてしまった。 気をつけないといけない。 次は問10。 ヒントによるとこの条件式は比例式というもので、比例式\(=k\)Et garder、\(x\)、\(y\)、\(z\)についての連立方程式とみて、\(x\)、\(y\)、\(z\)を\(k\)で表せばいいらしい。 あとは代入して計算すればいい。 僕はヒントを見落としていたので、\(k\)とはおかずに\(y\)、\(z\)を\(x\)で表して解いた。 まぁそれでもいいだろうけど、比例式は\(k\)とおくのが鉄則みたいだな。 最後に問11。 \(Ax=0\)が\(x=0\)でない解を持つなら、\(A\)は正則行列でないということを大学の線形代数の講義で学んだ気がする… つまり\(A\)は逆行列を持たないということだ。 $$\begin{pmatrix} 1-K & 2 \\ 3 & 2-k \end{pmatrix}\gauche( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right) $$ 上の式で\(A=\begin{pmatrix} 1-K & 2 \\ 3 & 2-k \end{pmatrix}\)として、逆行列を持たないとき\(\Delta =\left( 1-k \right) \gauche( 2-k \right) -6=0\)être。 これで\(k\)が求まる。 ヒントにあるように、行列を使わないで普通に\(y\)を消去して\(Ax=0\)として、\(x\neq 0\)の解をもつならば、\(A=0\)としても同じことか。 今日はここで終わり～。
• Tableau math 1 part6 [fonction quadratique]   Toshikazu Sunada (Rédigé par) Nombre de publications de recherche (Maison d’édition) 2003Le 1er avril. (Date de sortie) Couverture rigide (Format) 今日から2次関数の総合演習をやっていこう。 問18からだ。 (1)は普通に計算すればいい。 (2)は2次関数を\(x\)軸方向に\(q\)、\(y\)軸方向に\(-2\)だけ平行移動し、原点に対して対称移動せよという。 これは\(x\)を\(x-q\)、\(y\)を\(y+2\)とした後で、\(x\)を\(-x\)、\(y\)を\(-y\)とおけばOKだ。 次は問19。 条件から\(z\)を消去して\(x\)の2次式とみて平方完成する。 さらに得られた頂点を\(y\)の2次式とみて平方完成すれば最小値が求まるみたいだ。 そういうものか。 うまくできているんだな。 別解では下のように計算していた。 $$\begin{eqnarray*}{ x }^{ 2 }+4{ y }^{ 2 }+9{ z }^{ 2 }&=&{ \gauche( x-\frac { 1 }{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \gauche( 2y-\frac { 1 }{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \gauche( 3z-\frac { 1 }{ 3 } \right) }^{ 2 }\\ &+&2\cdot \frac { 1 }{ 3 } \gauche( x+2y+3z \right) -3{ \gauche( \frac { 1 }{ 3 } \right) }^{ 2 }\end{eqnarray*}$$ こうすると\(x+2y+3z=1\)を満たすようにうまいぐあいに平方完成される。 でもこれはなかなか思いつかないな～。 あとはインターネットで調べてみたら\(Y=2y\)、\(Z=3z\)とおいて、3次元の平面と原点を中心とする球の関係に帰着させて解いている人がいた。 このWebサイトに書かれていた。 平面と球が接するとき球の半径は最少になるので、あとは距離の公式とかベクトルを使って解けるみたい。 なるほどな～。 数学Bのベクトルに進んだ頃にまた考えてみるか。 そして問20。 これは\(a\)の範囲で場合分けして、最大値\(G\left( a \right)…