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砂田 利一 (Escrito por)数研出版 (Casa editorial de)20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento)Libro (Formato) 今日で第3章「図形と計量」が終わりだ。つまりはこの問題集「チャート式 数学1」が終わりということになる。最後なのでがんばっていこう。 まずは問52。4辺の長さが分かっているが、角度が分からない凸四角形ABCDについて、\(\triangle \)ABDの面積を\(S\)、\(\triangle \)BCDの面積を\(T\)とする。(1)は\({ S }^{ 2 }+{ T }^{ 2 }\)のとりうる値の範囲を求めよという問題だ。ヒントにあるように\(\angle DAB=\alpha \)とおくと、余弦定理や面積の公式などから\({ S }^{ 2 }+{ T }^{ 2 }\)は\(\cos { \alpha } \)の2次式として表される。あとは\(\cos { \alpha } =t\)などとおいて、計算すればいい。 ただここで問題なのは\(\alpha \)の範囲である。条件としては四角形ABCDが凸四角形であるということだ。ヒントによると凸四角形とは内角が4つとも\(180°\)より小さい四角形だという。Qué quieres decir、四角形の4つの角について以下が成り立つ。 $$0°<\angle A,\angle B,\angle C,\angle D<180°$$ $$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360°$$ また、余弦定理から以下の関係も求められる。 $$\cos { \angle C } =-1+\sqrt { 3 } \cos { \angle A } $$ $$\cos { \angle D } =-1+\sqrt { 3 } \cos { \angle B } $$ 他にも正弦定理からも方程式が求められる…となんとか\(\angle A=\alpha\)の範囲を計算しようと思ったが、あまりに面倒なのでやめた… 次に僕は三角形の成立条件を考えてみた。 $$\left| b-c \right| <a<b+c$$ という三角形の辺の関係式だ。しかしこれだと\(0°<\alpha <90°\)となってしまうのだ。正答は\(30°<\alpha <90°\)ser。やはり今回は凸四角形の条件ということで、三角形の成立条件ではうまくいかないみたいだ。三角形の成立条件だけだと、ブーメランみたいな形の四角形でもOKということになってしまうからな。 解答例によると実際に図示してみて考えるといいらしい。今回は\(\angle C\)および\(\angle D\)が\(180°\)となるときに、うまいこと四角形ABCDが直角三角形になる。これにより\(\alpha\)の範囲が求められるという。計算ではなかなか範囲を求めるのは難しいので、図を描いてみるというのが正解だったんだな～…(1)が分かれば(2)は簡単だ。 次は問53。正五角形についての問題だ。これはヒントにあるように、正五角形\(F\)と正五角形\(G\)が相似のとき、長さが\(k\)倍なら面積は\({ k }^{ 2 }\)倍であることを利用すればいいみたい。平面図形がなんであれ、相似なら面積は\({ k }^{ 2 }\)倍になるんだな。覚えておこう。あとは計算が面倒だが、がんばれば解ける。僕は計算ミスしてしまったので、気をつけないといけない。 そして問54。(1)は簡単。(2)と(3)の問題を僕は間違えてしまった。直円錐台の側面の展開図をちゃんと描いて、ABの延長とCDの延長の交点をOとするのがポイントみたいだ。そしたら断面図の関係と円周の長さの関係を考えて、余弦定理から最短の曲線BEの長さが求まるらしい。(3)の線分CPの長さは、三角形の面積の公式を使うと簡単に求められるみたい。なるほど… 最後に問55。三角柱を点ABCを通る平面で切断した立体の体積を求めるという問題だ。ヒントによるとまず3つの三角錐A-DEF、A-BEF、A-BFCに分割して考える。1つ目の三角錐A-DEFの体積は普通に求まる。Además、A-BEFとA-BFCの体積は底面をうまくとらえて等積変形するといいらしい。つまり三角錐の底面が同じで高さが同じなら、体積が等しいという関係を使うのだ。今、三角柱の3辺は平行なので、うまい具合に2つ目の三角錐A-BEFと三角錐D-BEFの体積が等しくなる。同様に3つ目の三角錐A-BFCは三角錐D-BFCと体積が等しくなり、これは三角錐E-CDFと体積が等しくなるという。不思議だ…あっさりと立体の体積が求められた。No seas un estudio.。 Ahora、僕は間違えまくってしまった。図形問題が平面、立体どちらも僕は苦手みたいだな～。とにかくこれで数学1の総合演習の問題が全て終わった。 次回からは数学Aの問題を解いていこうと思う。

  砂田 利一 (Escrito por) 数研出版 (Casa editorial de) 20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento) Libro (Formato) 今日も解いていきます。 問48からだ。 ヒントにあるように\(\sin { \theta } =\tan { \theta } \cos { \theta } \)に気づくと、\(f\left( \theta \right) \)が積の形に変形できるので、これを利用する。 (1)は普通に解けばいい。 (2)は\(f\left( \theta \right)<0 \)なので、積の2つの項が\(0\)より大きいものと小さいものである場合である。 あとは\(0°<\theta <180°\)（ただし\(\theta \neq 90°\)）のとき、\(\tan { \theta } <1\)となるのは\(0°<\theta <45°\)、\(90°<\theta <180°\)に注意して解くといい。 僕はうっかりミスしてしまった。 気をつけないといけないな。 次は問49。 これは $$\sin ^{ 2 }{ x } +\cos ^{ 2 }{ x } =1$$ $$\sin ^{ 2 }{ y } +\cos ^{ 2 }{ y } =1$$ という公式を使うと、変数が4つで式が4本になるので連立させていくと方程式が解ける。 僕は以下のような三角関数の合成の公式を使って解いた。 $$a\sin { \theta } +b\cos { \theta } =\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \sin { \left( \theta +\alpha \right) } $$ $$（ただし、\cos { \alpha } =\frac { a … Continue readingチャート式 数学1 part15【図形と計量編】

  砂田 利一 (Escrito por) 数研出版 (Casa editorial de) 20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento) Libro (Formato) 今日も解いていくぞ～。 問43からだ。 今、\(\left( b+c \right) :\left( c+a \right) :\left( a+b \right) =4:5:6\)であるという。 ヒントにしたがって、\(\left( b+c \right) =4k\)、\(\left( c+a \right) =5k\)、\(\left( a+b \right) =6k\)（\(k>0\)）とおく。 そしてこの連立方程式を解くと\(a\)、\(b\)、\(c\)が\(k\)で表される。 あとは\(\triangle ABC\)について正弦定理と余弦定理を使うと答えが求められる。 次は問44。 余弦定理と面積を求める公式を使えばいい。 これは簡単だ。 その次は問45。 これも正弦定理や余弦定理、面積の公式を用いて解いていけばいい。 円に内接する四角形の対角をたすと\(180°\)になることに注意だな。 まぁ簡単。 そして問46。 四角錐についての問題だ。 実際に図を描いてみて、断面で切って平面図形を取り出して解くことになる。 僕は余弦定理、面積の公式を使って解いた。 Además、三角錐の体積は\(底面積\times 高さ\times \frac { 1 }{ 3 } \)であることなどを思い出した。 念のため、三角形の相似条件を復習のためまとめておく。 三角形の相似条件は 3組の辺の比が全て等しい 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい 2組の角がそれぞれ等しい である。 一般的に平面図形（立体）が相似である場合、 対応する線分の長さの比はすべて等しい 対応する角の大きさはすべて等しい ということが成り立つらしい。 最後に問47。 相似比が\(m:n\)である図形の面積の比は\({ m }^{ 2 }:{ n }^{ 2 }\)、相似比が\(m:n\)である立体の体積の比は\({ m }^{ 3 }:{ n }^{ 3 }\)ser。 また三角柱の体積は\(底面積\times 高さ \)ser。 これらから(1)は求められる。 次は(2)Pero、これを僕は間違ってしまった。 四角柱を半分に切って三角柱を作って…みたいな計算をしたのだが、これではうまくいかないんだな。 体積が半分とは限らないみたいだ。 線分ADの延長と線分BGの延長の交点をIなどとして、三角錐I-ABC、三角錐I-DGH、三角錐A-DGHに着目すればいいとのことだ。 そういう風に解くのか～。 これで総合演習のA問題が終わった。 次回からB問題を解いていこう。 難しくなるかな？

砂田 利一 (Escrito por) 数研出版 (Casa editorial de) 20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento) Libro (Formato) 第3章「図形と計量」に進んだ。 総合演習をAから解いていこう。 三角比とかが出題されるみたいだな。 まずは問38。 僕はいろいろな公式を使って式を変形して解いた。 以下のようなものだ。 $$\sin ^{ 2 }{ \alpha =\frac { 1-\cos { 2\alpha } }{ 2 } } $$ $$\cos ^{ 2 }{ \alpha =\frac { 1+\cos { 2\alpha } }{ 2 } } $$ $$\sin { \left( 90°-\alpha \right) } =\cos { \alpha } $$ $$\cos { \left( 90°-\alpha \right) } =\sin { \alpha } $$ Pero、今\(\alpha =22.5°\)なので\(3\alpha =90°-\alpha \)、\(5\alpha =180°-3\alpha \)、\(7\alpha =180°-\alpha \)であることに注目すれば、式が\(\sin { \alpha } \)、\(\cos { \alpha } \)のみで表されて、もっと簡単になったみたいだ。 次は問39。 以下の公式を用いて、変形していけば簡単に解ける。 $$\sin ^{ 2 }{ \theta + } \cos ^{ 2 }{ \theta =1 } $$ $${ a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 … Continue readingチャート式 数学1 part13【図形と計量編】