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砂田 利一 (Escrito por) 数研出版 (Casa editorial de) 20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento) Libro (Formato) 今日で2次関数編がラストだ。 問36からやっていこう。 ヒントにあるように以下のようにする。 $$\begin{eqnarray*}f\left( x \right) &=&{ x }^{ 2 }-ax+b-\left( -{ x }^{ 2 }-bx+a \right) \\ &=&2{ x }^{ 2 }-\left( a-b \right) x-\left( a-b \right) \end{eqnarray*}$$ そして\(a-b=t\left( t\neq 0 \right) \)などとおいて、\(f\left( x \right) \)について\(f\left( x \right) <0\)を満たす実数\(x\)が必ず存在するので、2次関数の頂点の\(y\)座標は\(0\)より小さい。 よって\(T>0\)、\(T<-8\)となる。 あとはヒントにあるように放物線\(y=f\left( x \right) \)の軸は直線\(x=\frac { T }{ 4 } \)なのでこの軸に最も近い整数を考えればいい。 僕はここから悩んでしまって、次のようにした。 \(\frac { T }{ 4 } \)に最も近い整数は、 $$t=4k\left(kは0,-1,-2を除く整数 \right)のときはn=k$$ $$4k<t\le 4k+2\left(kは-1,-2を除く整数 \right)のときはn=k$$ $$4k+2<T< 4\left( k+1 \right) \left(kは-1,-2を除く整数 \right)のときはn=k+1$$ そして\(x=n\)を\(f\left( x \right)\)に代入すると\(f\left( x \right)\)は\(t\)の1次式と見ることができる。 あとは考えている\(t\)の範囲において、これまた\(k\)の範囲についても考慮しながら最大値の議論をしていくと、\(f\left( n \right) \le -2\)または\(f\left( n \right) < 0\)と分かり、題意を満たす整数\(n\)が必ず存在すると分かった。 解くのにかなり時間がかかってしまった… 実際の試験だったら時間がかかりすぎてしまって、僕は明らかにこの問題を解けていないだろう。 sin embargo、正答例ではもっと簡単に解いていた。 $$T<-8のときf\left( -2 \right) =8+t<0$$ $$T>0のときf\left( 0 \right) =-t<0$$ だというのである。 こんな簡単に解けるとは… これには気づかなかったな。 \(T>0\)で\(t\)がどんどん大きくなっていくと、軸\(x=\frac { T … Continue readingチャート式 数学1 part12【2次関数編】

砂田 利一 (Escrito por)数研出版 (Casa editorial de)20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento)Libro (Formato) 今回も解いていく。今日は問33からだ。絶対値がたくさんついている。僕はヒントに従って、\(N=2\)のときと\(N=3\)のときを計算してみて、あとは\(N\)が偶数と奇数の場合に分けて、なんとなく答えを出した。sin embargo、正答を見てみると、以下のように回答していた。 $${ a }_{ k }\le x\le { a }_{ k+1 }\quad \left( k=1,2,\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot ,N-1 \right) のとき$$ $$f\left( x \right) =\left( -N+2k \right) x-{ a }_{ 1 }-{ a }_{ 2 }-\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot -{ a }_{ k }+{ a }_{ k+1 }+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +{ a }_{ N }$$ あとは\(N\)が偶数の場合と奇数の場合で、\(-N+2k\)が正か負か0かに着目してグラフの形を考えてみれば解けるみたい。こうやってしっかり解かないといけなかったみたいだ。数学2の単調増加、単調減少の考え方も入っているのかな。 次は問34。(1)はまず、2次方程式が異なる実数の2解を持つように判別式\(D>0\)とすればいい。そして共通解を\(x=\alpha \)などとおいて、2本の2次方程式に代入して計算すると、\({ \alpha }^{ 2 }\)の項がうまい具合に消えて、\(\alpha=1\)と分かる。これで\(a\)の範囲が求められる。(2)は\(f\left( x \right) ={ x }^{ 2 }+ax+4\)、\(g\left( x \right) ={ x }^{ 2 }+4x+\alpha \)などとおいて、グラフを書いてみる。あとは\(f\left( x \right)\)と\(g\left( x \right)\)が\(x=1\)で交わることに注意してグラフから実数解の大小を考えればいいだろう。 そして問35。\(x\)と\(p\)で表される放物線と三角形が交わるような実数\(p\)の範囲を求めよという問題だ。僕はまずヒントにしたがって放物線が三角形の各頂点を通るときの\(p\)を求めた。あとは\(f\left( x \right) ={ \left( x-p \right) }^{ 2 }-2\)とおいて、各\(p\)の範囲において\(f\left( 0 \right) \)や\(f\left( 1 \right) \)の大きさに着目して、三角形の辺と交わるかを調べた。ちょっと面倒だったが、解けた。正答例ではグラフで図示して、放物線と三角形が交わる場合を調べて解いていた。こっちのほうが分かりやすいかもな。 … Continue readingTabla de matemáticas 1 part11 [función cuadrática]

砂田 利一 (Escrito por)数研出版 (Casa editorial de)20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento)Libro (Formato) 今日も2次関数のB問題を進めていこう。問30からだ。(1)は普通に場合分けをして絶対値を外せばいい。(2)がこの問題のポイントとなるところだろう。【1】\(x\ge a\)のとき、\(a\ge \frac { 1 }{ 2 } \)の場合と\(a<\frac { 1 }{ 2 } \)の場合で最小値\(m\left( a \right) \)が異なるので、場合分けする。同様に【2】\(x<a\)のときは、\(a>-\frac { 1 }{ 2 } \)の場合と\(a\le -\frac { 1 }{ 2 } \)の場合で場合分けが必要だ。そしたら\(a\ge \frac { 1 }{ 2 } \)、\(-\frac { 1 }{ 2 } <a<\frac { 1 }{ 2 } \)、\(a\le -\frac { 1 }{ 2 } \)の場合で【1】と【2】のそれぞれの差をとってどちらがより小さいかを明らかにし、関数\(f\left( x \right) \)の最小値\(m\left( a \right) \)を求めることになる。僕はグラフを見てなんとなく直感で解いたが、それではダメだったんだな。しっかり場合分けが必要みたいだ。(3)は(2)がちゃんと解けていれば簡単だ。 次は問31。Primero(1)。今\(a\)、\(b\)、\(x\)、\(y\)全てが正の実数なので、以下の不等式 $$\frac { x }{ a } \le \frac { y }{ b } $$ の両辺に\(ab\)をかけたり、2乗したりしても、不等号の向きは変わらないし、通常は2乗することで生じる余計な解が含まれることもない。あとは条件式を利用して\({ y }^{ 2 }\)を消去すればいい。(2)は(1)から\(0\le x\le \frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 } } } \)のとき、\(\min { … Continue readingチャート式 数学1 part10【2次関数編】

砂田 利一 (Escrito por)数研出版 (Casa editorial de)20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento)Libro (Formato) 今日も問題を解いていく。問27からだ。ヒントが解き方をよく表していた。(1)は\(f\left( x \right) -g\left( x \right) \)の最小値\(>0\)とする。(2)は\(f\left( x \right) -g\left( x \right) \)の最大値\(>0\)。(3)は\(f\left( x \right)\)の最小値\(>g\left( x \right)\)の最大値となる。(4)は\(f\left( x \right)\)の最大値\(>g\left( x \right)\)の最小値らしい。ヒントがなかったらよく分からなかったかもしれない。気をつけよう。 次は問28。これは点\(A\)と点\(B\)が異なることに注意して普通に計算すればいいだろう。簡単簡単。 そして問29。ここから、A問題が終わってB問題が始まるということで、少し難しくなるかもしれない。(1)は与えられた方程式から\(y\)を消去して、\(x\)と\(t\)の式と見る。そして\(x\)についての2次方程式が実数解を持つことから判別式\(D\ge 0\)となり、\(t\)のとりうる範囲が求まる。Ya veo、そういうものか。 あるいは図示してみてもいいかもしれない。\({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=1\)は原点を中心とする半径\(1\)の円で、\(y=-x+t\)は傾き\(-1\)、\(y\)切片を\(t\)とする直線だ。これらが交点を持つ範囲を考えれば直線が円に接しているときがギリギリなので、そのときの\(t\)の値を図形と角度の関係から求めてもいいな。 (2)は\(S\)を\(t\)で表したら、(1)で求めた範囲内での最大値、最小値を求めればいい。 今日はこれで終わり～。

    砂田 利一 (Escrito por) 数研出版 (Casa editorial de) 20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento) Libro (Formato) 今日も進めていこう。 まずは問24。 これは①式と②式の判別式\(D\ge 0\)から\(a\)の範囲を求めて計算すればいい。 簡単だ。 次は問25。 これは場合分けして絶対値を外してから、解の公式や因数分解を使って不等式を解けばいい。 (3)は絶対値のついている式が2つあるので面倒だが、地道に場合分けをして計算すれば解ける。 僕はうっかり計算ミスで(1)を間違えてしまった。 気をつけないといけないな。 そして問26。 まずは\(a\)の範囲で場合分けして2次不等式を解く。 そして条件である、整数\(x\)がただ1つ存在することを満たすような\(a\)の範囲を探せばいい。 これも簡単だ。 今日は1時間もかからず終わったな。 また次回進めていこう。

砂田 利一 (Escrito por) 数研出版 (Casa editorial de) 20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento) Libro (Formato) 今日も2次関数の総合演習を解いていこう。 問21からだ。 これは2つの絶対値に気をつけて場合分けして\(g\left( x \right) \)をグラフに図示する。 そして\(0<c<1\)のとき\(g\left( x \right) =c\)を満たす\(x\)を求めればいい。 次は問22。 (1)は2本の方程式を連立させて、\(x\)の2次方程式が判別式\(D=0\)となるとき、\({ C }_{ 1 }\)、\({ C }_{ 2 }\)がただ1つの共有点をもつ。 (2)も点\(P\)を通る直線が\({ C }_{ 1 }\)、\({ C }_{ 2 }\)と接するので、連立させて判別式\(D=0\)から求めればいい。 そして問23。 (1)、(2)は普通に解けばいいだろう。 (3)は解の公式から求められた2解の差が\(2\)であればいい。 \(D>0\)に気をつけて計算すれば\(p\)、\(q\)が求められて頂点の座標が求まる。 今日はこれで終わり～。

  砂田 利一 (Escrito por) 数研出版 (Casa editorial de) 20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento) Libro (Formato) 今日から2次関数の総合演習をやっていこう。 問18からだ。 (1)は普通に計算すればいい。 (2)は2次関数を\(x\)軸方向に\(q\)、\(y\)軸方向に\(-2\)だけ平行移動し、原点に対して対称移動せよという。 これは\(x\)を\(x-q\)、\(y\)を\(y+2\)とした後で、\(x\)を\(-x\)、\(y\)を\(-y\)とおけばOKだ。 次は問19。 条件から\(z\)を消去して\(x\)の2次式とみて平方完成する。 さらに得られた頂点を\(y\)の2次式とみて平方完成すれば最小値が求まるみたいだ。 そういうものか。 うまくできているんだな。 別解では下のように計算していた。 $$\begin{eqnarray*}{ x }^{ 2 }+4{ y }^{ 2 }+9{ z }^{ 2 }&=&{ \left( x-\frac { 1 }{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( 2y-\frac { 1 }{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( 3z-\frac { 1 }{ 3 } \right) }^{ 2 }\\ &+&2\cdot \frac { 1 }{ 3 } \left( x+2y+3z \right) -3{ \left( \frac { 1 }{ 3 } \right) }^{ 2 }\end{eqnarray*}$$ こうすると\(x+2y+3z=1\)を満たすようにうまいぐあいに平方完成される。 でもこれはなかなか思いつかないな～。 あとはインターネットで調べてみたら\(Y=2y\)、\(Z=3z\)とおいて、3次元の平面と原点を中心とする球の関係に帰着させて解いている人がいた。 このWebサイトに書かれていた。 平面と球が接するとき球の半径は最少になるので、あとは距離の公式とかベクトルを使って解けるみたい。 なるほどな～。 数学Bのベクトルに進んだ頃にまた考えてみるか。 そして問20。 これは\(a\)の範囲で場合分けして、最大値\(G\left( a \right) \)と最小値\(g\left( a \right) \)を求める。 あとは\(a\)についてグラフを書いて、それぞれの最小値を求めればいいだろう。 今日はここで終わりにする。