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• チャート式 数学A part3【場合の数編】 柳川 高明 (Escrito por)数研出版 (Casa editorial de)20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento)Libro (Formato) 今日から第1章「場合の数」の総合演習B問題を解いていく。まずは問11からだ。(A)の条件から、正の整数\(m\)は\(2\)を素因数にもたず、\(9={ 3 }^{ 2 }\)を因数にもつと分かる。(1)は背理法で証明すればいい。\(m\)の正の約数で素数となるものが3つ以上あるとする。それらを\(3\)、\(p\)、\(q\)、…とする。ただし\(p\)、\(q\)、…は\(5\)以上の素数である。すると\(m\)は以下のように素因数分解される。 $$m={ 3 }^{ k }{ p }^{ a }{ q }^{ b }\cdot \cdots \quad \left( k\ge 2,\quad a\ge 1,\quad b\ge 1,\quad \cdots \right) $$ このとき\(m\)の正の約数の個数は次式で表される。 $$\left( k+1 \right) \left( a+1 \right) \left( b+1 \right) \cdots $$ 今、これは\(12\)以上となり、条件(B)に適さない。よって\(m\)の正の約数で素数となるものは高々2個だ。なるほどな～ (2)は\(m\)の正の約数となる素数が、 \(3\)のみ \(3\)と\(5\)以上の素数\(p\) の場合の2通りを考えればいい。おもしろい問題だったな。 次は問12。(1)は、僕は以下の4通りに分けて計算して足し合わせて、暗証番号の総数から引いた。 同じ番号が2つずつの2組がある場合 同じ番号が2つの1組がある場合 同じ番号が3つ続く場合 同じ番号が4つ続く場合 だが、解答例を見ると同じ数字が続かない番号の個数ということで、\(10\times 9\times 9\times 9\)と簡単に求められるみたいだ。そういうものか。 (2)はヒントによると\(0\sim 9\)は対等である。よって\(a=0\)の場合を数えて10倍すれば答えが出るらしい。解き方としては以下の3通りに分けて数え上げればいいとのことだ。 \(b=2\)の場合 \(b=8\)の場合 \(b=3,4,\cdots , 7\) En cuanto a mí、ヒントがないとこれは気付かなかっただろう。う～ん、難しいな。 その次は問13。同じものを含む順列の問題だ。(1)は(両端の文字が異なる)\(=\)(全体)\(-\)(両端の文字が同じ)、として解けばいい。(2)は以下のように場合分けする。 文字が全て異なるとき 同じ文字2個を1組だけ含むとき 同じ文字を2個ずつ2組含むとき 同じ文字を3個含むとき この問題は解きやすいほうだったかな。 最後に問14。ヒントにあるように、\(x\)座標から\(S\)、\(T\)の回数の和が、\(y\)座標から\(S\)、\(T\)の回数の差が分かる。(2)、(3)について僕は樹形図を書いて解いた。そんなに複雑でないので力技でも解けるみたいだ。題意を満たすように解くと、点\(\left( 1,1 \right) \)から点\(\left( 7,1 \right) \)へ移る途中に、ある点Pで\(x\)軸上にあるとする。このとき、点P以降の経路で\(S\)と\(T\)を入れ替えると点\(\left( 7,-1 \right) \)に移ることを利用するという。\(S\)と\(T\)を入れ替えても、同じものを含む順列の個数は変わらないからな。点P以前の経路は共通でなので、(点P以前の経路の数)\(\times \)(点P以降の経路の数)は等しい。結局点Pから\(x\)軸を通って点\(\left( 7,1 \right) \)へ移る場合と、点Pから点\(\left( 7,-1 \right) \)に移る場合は同じ場合の数となるみたい。ちょっと分かりにくい問題だった。 今日はこれで終わりにする。
• 直感を裏切る数学 「思い込み」にだまされない数学的思考法 神永 正博 (Escrito por)Kodansha (Casa editorial de) / ブルーバックス2014年11月21日 (Fecha de lanzamiento)Nuevo libro (Formato) 直感では間違えてしまうような数学の題材がいろいろ取り上げられている本。僕の知らないことがたくさん載っていて、おもしろかった。数学の本はあまり読んだことがなかったからな。本書の内容は下のようなものだ。 第1章 直感を裏切るデータ 第2章 直感を裏切る確率 第3章 直感を裏切る図形 第4章 直感を裏切る論理 感覚的には章が進むにつれ、ちょっと難しくなっていったような気がしたが、僕は全体的になんとなくフィーリングで読み進んだ。 「シンプソンのパラドックス」、「ベイズの定理」、「コーシー分布」、「モンテカルロ法」、「ルーローの多角形」などなど他にもたくさん様々なテーマが載っていた。僕が特におもしろかったのは、「ベンフォードの法則」、「バースデーパラドックス」、「ポアソン分布」、「アークサイン法則」、「四色問題」、「連続体仮設」とかかな。 ベンフォードの法則とは、いろいろなデータの数字は先頭桁の数字が1であるものが非常に多く、2、3、…9と数字が大きくなるにしたがって頻度が下がるというものらしい。不思議だな。「一般化されたベンフォードの法則」は次式で表されるとか。 $$y=\frac { 1 }{ { x }^{ \alpha } }\tag{1}$$ Y(1)式で、\(\alpha =1\)のときが、「オリジナルのベンフォードの法則」だという。 ポアソン分布とは、互いに無関係な事象が固まって起きやすく、またしばらく起きないこともあるという分布らしい。いろんな事故や天災にも当てはまるとか。これも不思議だ。 El resto、数学には本質的に証明があまりに長く、人間には全体を理解できない証明も存在するということも書かれていた。Y、否定も肯定も証明不可能な命題も存在するらしい。sin embargo、数学者は前へ進み続けるという。第4章の最後に書かれていた文章が印象的だった。 それでもなお、数学者が歩みを止めることはないでしょう。連続体仮設が示した、「否定も肯定も不可能な命題がある」という事実。Esto es、世紀の大難問に正面から立ち向かった、勇気と努力の結晶なのです。（p.237）