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• チャート式 数学A part1【場合の数編】   柳川 高明 (Escrito por) 数研出版 (Casa editorial de) 20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento) Libro (Formato) 今日から数学Aの総合演習問題を解いていくぞ～ まずは第1章「場合の数」だ。 ヒントを見ながら進めていく。 問1。 (1)は奇数番目が必ず奇数になるので、5個の奇数から3個の数字を選ぶ順列と残り6個の数字から2個を選ぶ順列を考える。 すると、積の法則を使って以下のように解ける。 $${ _{ 5 }{ P }_{ 3 }\times }{ _{ 6 }{ P }_{ 2 }=1800 }$$ (2)では奇数が必ず奇数番目にあるものを考える。 奇数が1個の場合 奇数が2個の場合 奇数が3個の場合 この3つの場合に分ける。 これらの事象は同時には起こらないので排反である。 よって和の法則を用いて、これらを足し合わせればよい。 次は問2。 これは条件から、万の位と一の位に\(0\)がくることはないとまず分かる。 またヒントを見ると、 （どれかの位が奇数になる場合の数）\(=\)（全体の場合の数）\(-\)（全ての位が偶数の場合の数）であると分かる。 Además、偶数\(=\)偶数\(+\)偶数か、偶数\(=\)奇数\(+\)奇数である。 このようなことを考えれば解ける。 その次は問3だ。 (1)は7個の数字から4個選んで並べてできた4桁の整数について、一の位の数が千の位の数より大きいような整数の個数を求める。 千の位が\(0\)ではないことに注意して、僕は千の位が\(1\)の場合、\(2\)の場合…と考えて解いた。 もっと簡単に、一の位と千の位は\(1\sim 6\)から2個を選び、大きい方を一の位、小さい方を千の位としてもいいらしい。 その選び方は\({ _{ 6 }{ C }_{ 2 } }\)通りだ。 あとは百と十の位を考える。 (2)も僕は(1)と同様に場合分けして解いた。 だがヒントによると、十の位が百の位より大きい整数と、百の位が十の位より大きい整数は同じ個数だけあるので、（全体の個数）\(\div 2\)としても求められるらしい。 そういうものなのかね？ (3)はヒントによると、\(5310\)より大きい整数ということで、\(531□ \)、\(532□ \)、\(534□ \)、\(536□ \)、\(54□□ \)、\(56□□\)、\(6□□□\)の場合をそれぞれ考えればよい。 さらに問4。 (1)と(2)は組合せを考えればよく、簡単だ。 (3)を僕は間違えてしまった。 2つの頂点が正十角形\(A\)の頂点で、他の1つが対角線の交点である三角形については、(2)の四角形を考えればいいらしい。 この四角形1つから求める三角形が4つできる。 El resto(2)で求めた四角形の個数をかければいい。 これはなかなか気づかないな～。 最後に問5。 ヒントによると、一筆書きをするとき、奇点（経路が奇数個集まっている点）を含む場合、出発点は奇点の一方で、終点は他方の奇点であるという。 なので今の場合、書き始める位置は2通りだ。 あとは輪っかをどの順序で描くか、輪っかを右回りと左回りのどちらで描くかを考慮して答えが求められる。 答えである一筆書きの仕方の総数が意外と多いのが印象的だった。 まぁ僕はこの問題も間違えたんですけどね。 今日はここまで。 また次回進めていこう。
• チャート式 数学A part4【場合の数編】   柳川 高明 (Escrito por) 数研出版 (Casa editorial de) 20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento) Libro (Formato) 今日も場合の数の問題を解いていく。 まずは問15。 僕は次のようにして解いた。 Al principio、回転して重なる場合も異なる図形であるとすると、全ての塗り分け方は\({ 2 }^{ 9 }=512\)通りある。 また回転しても形が変わらない塗り分け方を数えると8通りある。 Además、回転したら形が2つになる塗り分け方は12通りある。 残りは回転したら形が4つになる塗り分け方である。 よってその塗り分け方は、 $$\frac { 512-\left( 8+2\times 12 \right) }{ 4 } =120$$ 通りである。 これらから、求める答えは $$8+12+120=140$$ 通りだ。 しかしこのやり方だと、回転したとき形が2つになる塗り分け方を数えるのが分かりにくい。 数えもれが出てしまう可能性が大だ。 解答例では9マスを中央の正方形と周りの4つの長方形に分けて計算していた。 長方形の塗り方は4通りで、この中から周りの4つの長方形がの塗り分け方が 1種類のとき 2種類のとき 3種類のとき 4種類のとき を場合分けして考えればいいという。 そういうものか～ 次は問16。 (1)、(2)は\(a=6\)なので南北方向の敷き詰め方は決まる。 あとは東西方向の長さに着目すればいい。 (3)はヒントによると、まず辺ABに沿った部分から敷くと4通りが考えられる。 Y、それらの場合の残り部分の敷き詰め方を考えればいい。 (1)、(2)のやり方も使って解いていくことになるが、僕は計算間違いをしてしまった。 なかなかミスが多くて困ったものだ。 その次は問17。 展開式の一般項は二項定理を用いて次式で表される。 $${ _{ m }{ C }_{ j } }{ \cdot _{ n }{ C }_{ k }{ x }^{ 2j+3k } }$$ あとは\({ x }^{ 6 }\)について\(2j+3k=6\)を満たす\(0\)以上の整数\(\left( j,k \right) \)を考えればいい。 そうしたら\(m\)の範囲を求めて、それぞれの\(m\)について\(n\)が存在するかを考える。 これで(1)が解けた。 (1)が分かれば(2)は簡単に解ける。 最後に問18。 (1)は背理法を使うなりして簡単に解ける。 まぁ背理法を使わなくても解けるみたいだけどな。 (2)はヒントによると以下のようにするのがポイントみたいだ。 $$\left( { 2 }^{ p-1 }-1 \right) \times…
• Tabla-Matemáticas A part5 [probabilidad] 柳川 高明 (Escrito por)数研出版 (Casa editorial de)20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento)Libro (Formato) 今回から確率の総合演習を解いていく。まずは問19。ヒントによると確率の計算の基本は全事象\(U\)の場合の数\(N\)と、事象\(A\)の起こる場合の数\(a\)を求めて、\(P\left( A \right) =\frac { a }{ N } \)とすることである。いま、さいころは異なるものと考えて、\(N={ 6 }^{ 4 }\)ser。El resto(1)～(4)について\(a\)を考えればいい。特に注意が必要なのは(4)かな。僕は最初解いたときに確率\(P\left( A \right)\)が\(1\)を超えてしまい、間違いに気づいた。ちなみに\(a={ _{ 6 }{ C }_{ 1 } }{ \times _{ 5 }{ C }_{ 2 }\times }{ _{ 4 }{ C }_{ 2 } }{ \times _{ 2 }{ C }_{ 1 } }\)と解けた。解答例とは違うやり方だが、同じ答えになる。 次は問20。円順列の問題だ。(2)、(3)で隣り合う人たちを1組と考えて円順列を計算するのがポイントかな。これは簡単だった。 その次は問21。(1)、(2)は簡単。(3)は独立試行の問題だ。独立な試行の確率は\(P\left( C \right) =P\left( A \right) P\left( B \right) \)と表されるので、普通に解けばいい。これも簡単だ。 最後は問22。これは反復試行の問題だ。反復試行の確率は次のようになるらしい。 $${ _{ n }{ C }_{ r }{ p }^{ r }{ q }^{ n-r } }\quad \left(ただしq=1-p \right) $$ あとは解ける、簡単簡単。と思ったら僕はこの問題を間違えてしまった。最後は必ず白玉を取り出さないといけなかったんだな。そうでないと、今の場合途中で白玉を3個取り出して、試行が終了してしまう。なるほどね。 今回はこれで終わり。僕は特に確率が得意というわけではないのだが、今日のこれらの問題は簡単だった。これはサクサク進むなぁ～意外と確率の問題は解きやすいのかもしれない。まぁまだA問題だから、徐々に難しくなるのかもしれないが。また次回やっていこう。