柳川 高明 (Escrito por)
数研出版 (Casa editorial de)
20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento)
Libro (Formato)
今回も解いていこう。
まずは問23だ。
二つのサイコロが違うもので(3)と(4)は試行が独立として計算すればいい。
次は問24。
ヒントのように余事象が考えやすいだろう。
そして問25。
少なくとも1つという表現には余事象を考えればいいらしい。
僕は場合分けして互いに排反として確率の加法定理で普通に解いた。
あとは問26。
(1)は反復試行の確率だ。
(2)は期待値を求めればいいがヒントによると次のように表せるらしい。
$$ X=k \left(k=0, 1, 2, \cdots, n \right)のときの確率が{ _{ n }{ C }_{ k }{ p }^{ k }{ q }^{ n-k } }\quad \left(q=1-p \right) $$
$$ である変量Xの期待値はnpである $$
ここからはB問題だ。
問27の(2)はさいころがちょうど3色で塗られている組み合わせは①(1面,1面,4面)、②(1面,2面,3面)、③(2面,2面,2面)ser。
使う3色の選び方は\(_{ 6 }{ C }_{ 3 } = 20\)通り。
それぞれについて①の場合は\( 3 \times _{ 6 }{ C }_{ 4 } \times _{ 2 }{ C }_{ 1 } = 90\)通り。
②の場合は\( 3! \times _{ 6 }{ C }_{ 3 } \times _{ 3 }{ C }_{ 2 } = 360\)通り。
③の場合は\( _{ 6 }{ C }_{ 2 } \times _{ 4 }{ C }_{ 2 } \times _{ 2 }{ C }_{ 2 } = 90\)通り。
よって\( 20 \times \left( 90 + 360 + 90 \right) = 20 \times 540 \)となり\( \displaystyle \frac{ 20 \times 540 }{ 6^6 } = \displaystyle \frac{ 25 }{ 108 } \)となる。
次は問28だ。
総当たりで2点を選んでもれなく直線距離を調べればいい。
僕は抜けがあったので注意が必要だ。
その後は問29。
ヒントのように1が\( x \)回、2,3が合わせて\( y \)回、4が\( z \)回、5,6が合わせて\( w \)回出たとするなどして適するものを選べばいい。
そして問30。
(1)は場合分けしても解けるが(2)も考えると余事象が考えやすいらしい。
ポイントは裏が出て取り除かれた硬貨も取り除かずに数えることだろう。
解説のように試行が\( n \)回以上行われるという事象は試行が\( n-1 \)回までに終了するという事象の余事象であり、各硬貨について\( n-1 \)回投げるといずれかの回で裏が出る場合を考えて
$$ 1-q_n = \{ 1-\left( \frac{ 1 }{ 2 }\right)^\left(n-1\right) \}^3 $$
となる。
僕は漸化式のように解こうと思ったがそれでは難しいみたいだ。
その後は問31。
これは2枚の紙を重ね合わせたときに、重なることのあるマス目を分類して計算すればいい。
僕は間違えたが簡単だ。
それと問32。
条件付き確率は\( P_A \left( B \right) = \displaystyle \frac{ P\left( A\cap B \right) }{ P \left( A \right) }\)で表されるので場合を分けて計算する。
最後は問33。
僕は数え抜けがあってしまった。
実際に図を描いて解くのが分かりやすくていいだろう。
これで確率の総合演習が終わった。
結構早く終えられたな。
次回は論理と集合について進めていく。
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