砂田 利一 (Escrito por)
数研出版 (Casa editorial de)
20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento)
Libro (Formato)
今日で第3章「図形と計量」が終わりだ。
つまりはこの問題集「チャート式 数学1」が終わりということになる。
最後なのでがんばっていこう。
まずは問52。
4辺の長さが分かっているが、角度が分からない凸四角形ABCDについて、\(\triangle \)ABDの面積を\(S\)、\(\triangle \)BCDの面積を\(T\)とする。
(1)は\({ S }^{ 2 }+{ T }^{ 2 }\)のとりうる値の範囲を求めよという問題だ。
ヒントにあるように\(\angle DAB=\alpha \)とおくと、余弦定理や面積の公式などから\({ S }^{ 2 }+{ T }^{ 2 }\)は\(\cos { \alpha } \)の2次式として表される。
El resto\(\cos { \alpha } =t\)などとおいて、計算すればいい。
ただここで問題なのは\(\alpha \)の範囲である。
条件としては四角形ABCDが凸四角形であるということだ。
ヒントによると凸四角形とは内角が4つとも\(180°\)より小さい四角形だという。
Qué quieres decir、四角形の4つの角について以下が成り立つ。
$$0°<\angle A,\angle B,\angle C,\angle D<180°$$
$$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360°$$
Además、余弦定理から以下の関係も求められる。
$$\cos { \angle C } =-1+\sqrt { 3 } \cos { \angle A } $$
$$\cos { \angle D } =-1+\sqrt { 3 } \cos { \angle B } $$
他にも正弦定理からも方程式が求められる…
となんとか\(\angle A=\alpha\)の範囲を計算しようと思ったが、あまりに面倒なのでやめた…
次に僕は三角形の成立条件を考えてみた。
$$\left| b-c \right| <a<b+c$$
という三角形の辺の関係式だ。
しかしこれだと\(0°<\alpha <90°\)となってしまうのだ。
正答は\(30°<\alpha <90°\)ser。
やはり今回は凸四角形の条件ということで、三角形の成立条件ではうまくいかないみたいだ。
三角形の成立条件だけだと、ブーメランみたいな形の四角形でもOKということになってしまうからな。
解答例によると実際に図示してみて考えるといいらしい。
今回は\(\angle C\)および\(\angle D\)が\(180°\)となるときに、うまいこと四角形ABCDが直角三角形になる。
これにより\(\alpha\)の範囲が求められるという。
計算ではなかなか範囲を求めるのは難しいので、図を描いてみるというのが正解だったんだな～…
(1)が分かれば(2)は簡単だ。
次は問53。
正五角形についての問題だ。
これはヒントにあるように、正五角形\(F\)と正五角形\(G\)が相似のとき、長さが\(k\)倍なら面積は\({ k }^{ 2 }\)倍であることを利用すればいいみたい。
平面図形がなんであれ、相似なら面積は\({ k }^{ 2 }\)倍になるんだな。
覚えておこう。
あとは計算が面倒だが、がんばれば解ける。
僕は計算ミスしてしまったので、気をつけないといけない。
そして問54。
(1)は簡単。
(2)と(3)の問題を僕は間違えてしまった。
直円錐台の側面の展開図をちゃんと描いて、ABの延長とCDの延長の交点をOとするのがポイントみたいだ。
そしたら断面図の関係と円周の長さの関係を考えて、余弦定理から最短の曲線BEの長さが求まるらしい。
(3)の線分CPの長さは、三角形の面積の公式を使うと簡単に求められるみたい。
なるほど…
最後に問55。
三角柱を点ABCを通る平面で切断した立体の体積を求めるという問題だ。
ヒントによるとまず3つの三角錐A-DEF、A-BEF、A-BFCに分割して考える。
1つ目の三角錐A-DEFの体積は普通に求まる。
Además、A-BEFとA-BFCの体積は底面をうまくとらえて等積変形するといいらしい。
つまり三角錐の底面が同じで高さが同じなら、体積が等しいという関係を使うのだ。
今、三角柱の3辺は平行なので、うまい具合に2つ目の三角錐A-BEFと三角錐D-BEFの体積が等しくなる。
同様に3つ目の三角錐A-BFCは三角錐D-BFCと体積が等しくなり、これは三角錐E-CDFと体積が等しくなるという。
不思議だ…
あっさりと立体の体積が求められた。
No seas un estudio.。
Ahora、僕は間違えまくってしまった。
図形問題が平面、立体どちらも僕は苦手みたいだな～。
とにかくこれで数学1の総合演習の問題が全て終わった。
次回からは数学Aの問題を解いていこうと思う。
Artículos relacionados
- Tabla de matemáticas 1 part11 [función cuadrática] 砂田 利一 (Escrito por)数研出版 (Casa editorial de)20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento)Libro (Formato) 今回も解いていく。今日は問33からだ。絶対値がたくさんついている。僕はヒントに従って、\(N=2\)のときと\(N=3\)のときを計算してみて、あとは\(N\)が偶数と奇数の場合に分けて、なんとなく答えを出した。sin embargo、正答を見てみると、以下のように回答していた。 $${ a }_{ k }\le x\le { a }_{ k+1 }\quad \left( k=1,2,\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot ,N-1 \right) のとき$$ $$f\left( x \right) =\left( -N+2k \right) x-{ a }_{ 1 }-{ a }_{ 2 }-\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot -{ a }_{ k }+{ a }_{ k+1 }+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +{ a }_{ N }$$ あとは\(N\)が偶数の場合と奇数の場合で、\(-N+2k\)が正か負か0かに着目してグラフの形を考えてみれば解けるみたい。こうやってしっかり解かないといけなかったみたいだ。数学2の単調増加、単調減少の考え方も入っているのかな。 次は問34。(1)はまず、2次方程式が異なる実数の2解を持つように判別式\(D>0\)とすればいい。そして共通解を\(x=\alpha \)などとおいて、2本の2次方程式に代入して計算すると、\({ \alpha }^{ 2 }\)の項がうまい具合に消えて、\(\alpha=1\)と分かる。これで\(a\)の範囲が求められる。(2)は\(f\left( x \right) ={ x }^{ 2 }+ax+4\)、\(g\left( x \right) ={ x }^{ 2 }+4x+\alpha \)などとおいて、グラフを書いてみる。あとは\(f\left( x \right)\)と\(g\left( x \right)\)が\(x=1\)で交わることに注意してグラフから実数解の大小を考えればいいだろう。 そして問35。\(x\)と\(p\)で表される放物線と三角形が交わるような実数\(p\)の範囲を求めよという問題だ。僕はまずヒントにしたがって放物線が三角形の各頂点を通るときの\(p\)を求めた。あとは\(f\left( x \right) ={ \left( x-p…
- チャート式 数学1 part2【方程式と不等式編】 砂田 利一 (Escrito por) 数研出版 (Casa editorial de) 20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento) Libro (Formato) 今日も進めていきます。 今回は問4からだ。 式を因数分解せよということで(1)～(10)まで式が10題並んでいる。 面倒だが計算するか。 (6)、(9)では以下の公式を使った。 $${ \left( a+b \right) }^{ 3 }={ a }^{ 3 }+3{ a }^{ 2 }b+3a{ b }^{ 2 }+{ b }^{ 3 }$$ $${ \left( a-b \right) }^{ 3 }={ a }^{ 3 }-3{ a }^{ 2 }b+3a{ b }^{ 2 }-{ b }^{ 3 }$$ $${ a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 }=\left( a+b \right) \left( { a }^{ 2 }-ab+{ b }^{ 2 } \right) $$ $${ a }^{ 3 }-{ b }^{ 3 }=\left( a-b \right) \left( { a }^{ 2…
- チャート式 数学1 part5【方程式と不等式編】 砂田 利一 (Escrito por) 数研出版 (Casa editorial de) 20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento) Libro (Formato) 今日も進めていくぞ～。 問15からだ。 (1)は解の公式を利用して解を求め、誘導にしたがって因数分解すればいい。 (2)は\(P\left( x,y \right) =0\)を、\(x\)についての2次方程式と考えて解の公式で解く。 そして\(x=f\left( y \right) \)、\(x=g\left( y \right) \)とすると、\(P\left( x,y \right) =\left\{ x-f\left( y \right) \right\} \left\{ x-g\left( y \right) \right\} \)と因数分解できる。 今、\(P\left( x,y \right)\)が\(x\)、\(y\)についての1次式の積として表されるので、解の公式で求められた解の\(\sqrt { } \)内の\(y\)についての2次式が、\(y\)の1次式の平方数（2乗）の形にならないといけない。 このとき\(y\)についての2次式は重解をもち、判別式\(D=0\)ser。 これから\(k\)が求まる。 最初は\(P\left( x,y \right) =0\)を\(x\)についての2次式とみて解を求め、次は出てきた解の\(y\)についての2次式に注目して判別式を利用するというおもしろい問題だった。 あと気になったのは $$x=\frac { -\left( 4+y \right) \pm \sqrt { { \left( 3y+2 \right) }^{ 2 } } }{ 2 } ,\frac { -\left( 4+y \right) \pm \sqrt { { \left( 3y-2 \right) }^{ 2 } } }{ 2 } $$ となったときの根号（\(\sqrt { } \)）部分の計算についてだ。 通常は絶対値を付けて\(\left| 3y+2 \right| \)、\(\left| 3y-2 \right| \)とする。…
