砂田 利一 (Escrito por)
数研出版 (Casa editorial de)
20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento)
Libro (Formato)
今日で2次関数編がラストだ。
問36からやっていこう。
ヒントにあるように以下のようにする。
$$\begin{eqnarray*}f\left( x \right) &=&{ x }^{ 2 }-ax+b-\left( -{ x }^{ 2 }-bx+a \right) \\
&=&2{ x }^{ 2 }-\left( a-b \right) x-\left( a-b \right) \end{eqnarray*}$$
Y\(a-b=t\left( t\neq 0 \right) \)などとおいて、\(f\left( x \right) \)について\(f\left( x \right) <0\)を満たす実数\(x\)が必ず存在するので、2次関数の頂点の\(y\)座標は\(0\)より小さい。
よって\(t>0\)、\(t<-8\)となる。
あとはヒントにあるように放物線\(y=f\left( x \right) \)の軸は直線\(x=\frac { t }{ 4 } \)なのでこの軸に最も近い整数を考えればいい。
僕はここから悩んでしまって、次のようにした。
\(\frac { t }{ 4 } \)に最も近い整数は、
$$t=4k\left(kは0,-1,-2を除く整数 \right)のときはn=k$$
$$4k<t\le 4k+2\left(kは-1,-2を除く整数 \right)のときはn=k$$
$$4k+2<t< 4\left( k+1 \right) \left(kは-1,-2を除く整数 \right)のときはn=k+1$$
Y\(x=n\)を\(f\left( x \right)\)に代入すると\(f\left( x \right)\)は\(t\)の1次式と見ることができる。
あとは考えている\(t\)の範囲において、これまた\(k\)の範囲についても考慮しながら最大値の議論をしていくと、\(f\left( n \right) \le -2\)または\(f\left( n \right) < 0\)と分かり、題意を満たす整数\(n\)が必ず存在すると分かった。
解くのにかなり時間がかかってしまった…
実際の試験だったら時間がかかりすぎてしまって、僕は明らかにこの問題を解けていないだろう。
sin embargo、正答例ではもっと簡単に解いていた。
$$t<-8のときf\left( -2 \right) =8+t<0$$
$$t>0のときf\left( 0 \right) =-t<0$$
だというのである。
こんな簡単に解けるとは…
これには気づかなかったな。
\(t>0\)で\(t\)がどんどん大きくなっていくと、軸\(x=\frac { t }{ 4 } \)も大きくなっていく。
それにしたがって、頂点の\(y\)座標\(g\left( t \right) \)はどんどん小さくなっていく。
$$g\left( t \right) =-\frac { 1 }{ 8 } { t }^{ 2 }-t=-\frac { 1 }{ 8 } { \left( t+4 \right) }^{ 2 }+2$$
\(t<-8\)の場合も\(t\)が小さくなると、軸\(x=\frac { t }{ 4 } \)は小さくなっていき、\(g\left( t \right) \)も小さくなっていく。
\(g\left( t \right) \)が小さいほど\(f\left( n \right)<0 \)を満たす整数\(n\)は存在しやすくなるだろうから、結局一番クリティカルなのは\(t=0\)、\(t=-8\)の所で、そのときの軸は\(x=0\)と\(x=-2\)ser。
これを調べればいいということなのかな。
そして問37。
Esto es\(x\)についての2次方程式が\(0\)と\(1\)の間に少なくとも1つの解をもつような定数\(a\)の範囲を求めよというものだ。
あとはひたすら場合分けして解いていけばいいのだが、これがなかなか分かりにくくて面倒だった。
正答例のように次のように分けるのが分かりやすいかな。
- 1つの解が\(0\)のとき
- 1つの解が\(1\)のとき
- 1つの解が\(0\)と\(1\)の範囲にあり、他の解が\(0\)と\(1\)を含まない範囲にあるとき
- 2つの解がともに\(0\)と\(1\)の間にあるとき（重解を含む）
3の条件は\(f\left( 0 \right) f\left( 1 \right) <0\)と簡単に書けるという。
Esto es\(f\left( p \right) f\left( q \right) <0\)なら\(p\)と\(q\)の間に解があるという関係による。
なるほどな～。
別解にあるように以下のように変形して、
$${ x }^{ 2 }+x+2=-\frac { 7 }{ a } \left( x-1 \right) $$
\(y={ x }^{ 2 }+x+2\)と\(y=-\frac { 7 }{ a } \left( x-1 \right)\)が\(0<x<1\)で共有点を持つと考えてもいい。
グラフで図示して考えれば答えが求まる。
よし、これで2次関数の総合演習は終わりだ。
疲れた…
2次関数の計算は場合分けが面倒だな～
今度からは第3章「図形と計量」に進んでいこう。
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