砂田 利一 (Escrito por)
数研出版 (Casa editorial de)
20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento)
Libro (Formato)
今回も解いていく。
今日は問33からだ。
絶対値がたくさんついている。
僕はヒントに従って、\(N=2\)のときと\(N=3\)のときを計算してみて、El resto\(N\)が偶数と奇数の場合に分けて、なんとなく答えを出した。
sin embargo、正答を見てみると、以下のように回答していた。
$${ a }_{ k }\le x\le { a }_{ k+1 }\quad \left( k=1,2,\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot ,N-1 \right) のとき$$
$$f\left( x \right) =\left( -N+2k \right) x-{ a }_{ 1 }-{ a }_{ 2 }-\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot -{ a }_{ k }+{ a }_{ k+1 }+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +{ a }_{ N }$$
El resto\(N\)が偶数の場合と奇数の場合で、\(-N+2k\)が正か負か0かに着目してグラフの形を考えてみれば解けるみたい。
こうやってしっかり解かないといけなかったみたいだ。
数学2の単調増加、単調減少の考え方も入っているのかな。
次は問34。
(1)はまず、2次方程式が異なる実数の2解を持つように判別式\(D>0\)とすればいい。
そして共通解を\(x=\alpha \)などとおいて、2本の2次方程式に代入して計算すると、\({ \alpha }^{ 2 }\)の項がうまい具合に消えて、\(\alpha=1\)と分かる。
これで\(a\)の範囲が求められる。
(2)は\(f\left( x \right) ={ x }^{ 2 }+ax+4\)、\(g\left( x \right) ={ x }^{ 2 }+4x+\alpha \)などとおいて、グラフを書いてみる。
El resto\(f\left( x \right)\)と\(g\left( x \right)\)が\(x=1\)で交わることに注意してグラフから実数解の大小を考えればいいだろう。
そして問35。
\(x\)と\(p\)で表される放物線と三角形が交わるような実数\(p\)の範囲を求めよという問題だ。
僕はまずヒントにしたがって放物線が三角形の各頂点を通るときの\(p\)を求めた。
El resto\(f\left( x \right) ={ \left( x-p \right) }^{ 2 }-2\)とおいて、各\(p\)の範囲において\(f\left( 0 \right) \)や\(f\left( 1 \right) \)の大きさに着目して、三角形の辺と交わるかを調べた。
ちょっと面倒だったが、解けた。
正答例ではグラフで図示して、放物線と三角形が交わる場合を調べて解いていた。
こっちのほうが分かりやすいかもな。
2次関数の総合演習はあと2問ということで、次回で終わるだろう。
今回はここまで～。
Artículos relacionados
- チャート式 数学A part3【場合の数編】 柳川 高明 (Escrito por)数研出版 (Casa editorial de)20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento)Libro (Formato) 今日から第1章「場合の数」の総合演習B問題を解いていく。まずは問11からだ。(A)の条件から、正の整数\(m\)は\(2\)を素因数にもたず、\(9={ 3 }^{ 2 }\)を因数にもつと分かる。(1)は背理法で証明すればいい。\(m\)の正の約数で素数となるものが3つ以上あるとする。それらを\(3\)、\(p\)、\(q\)、…とする。ただし\(p\)、\(q\)、…は\(5\)以上の素数である。すると\(m\)は以下のように素因数分解される。 $$m={ 3 }^{ k }{ p }^{ a }{ q }^{ b }\cdot \cdots \quad \left( k\ge 2,\quad a\ge 1,\quad b\ge 1,\quad \cdots \right) $$ このとき\(m\)の正の約数の個数は次式で表される。 $$\left( k+1 \right) \left( a+1 \right) \left( b+1 \right) \cdots $$ 今、これは\(12\)以上となり、条件(B)に適さない。よって\(m\)の正の約数で素数となるものは高々2個だ。なるほどな～ (2)は\(m\)の正の約数となる素数が、 \(3\)のみ \(3\)と\(5\)以上の素数\(p\) の場合の2通りを考えればいい。おもしろい問題だったな。 次は問12。(1)は、僕は以下の4通りに分けて計算して足し合わせて、暗証番号の総数から引いた。 同じ番号が2つずつの2組がある場合 同じ番号が2つの1組がある場合 同じ番号が3つ続く場合 同じ番号が4つ続く場合 だが、解答例を見ると同じ数字が続かない番号の個数ということで、\(10\times 9\times 9\times 9\)と簡単に求められるみたいだ。そういうものか。 (2)はヒントによると\(0\sim 9\)は対等である。よって\(a=0\)の場合を数えて10倍すれば答えが出るらしい。解き方としては以下の3通りに分けて数え上げればいいとのことだ。 \(b=2\)の場合 \(b=8\)の場合 \(b=3,4,\cdots , 7\) En cuanto a mí、ヒントがないとこれは気付かなかっただろう。う～ん、難しいな。 その次は問13。同じものを含む順列の問題だ。(1)は(両端の文字が異なる)\(=\)(全体)\(-\)(両端の文字が同じ)、として解けばいい。(2)は以下のように場合分けする。 文字が全て異なるとき 同じ文字2個を1組だけ含むとき 同じ文字を2個ずつ2組含むとき 同じ文字を3個含むとき この問題は解きやすいほうだったかな。 最後に問14。ヒントにあるように、\(x\)座標から\(S\)、\(T\)の回数の和が、\(y\)座標から\(S\)、\(T\)の回数の差が分かる。(2)、(3)について僕は樹形図を書いて解いた。そんなに複雑でないので力技でも解けるみたいだ。題意を満たすように解くと、点\(\left( 1,1 \right) \)から点\(\left( 7,1 \right) \)へ移る途中に、ある点Pで\(x\)軸上にあるとする。このとき、点P以降の経路で\(S\)と\(T\)を入れ替えると点\(\left( 7,-1 \right) \)に移ることを利用するという。\(S\)と\(T\)を入れ替えても、同じものを含む順列の個数は変わらないからな。点P以前の経路は共通でなので、(点P以前の経路の数)\(\times \)(点P以降の経路の数)は等しい。結局点Pから\(x\)軸を通って点\(\left( 7,1 \right) \)へ移る場合と、点Pから点\(\left( 7,-1 \right) \)に移る場合は同じ場合の数となるみたい。ちょっと分かりにくい問題だった。 今日はこれで終わりにする。
- チャート式 数学1 part10【2次関数編】 砂田 利一 (Escrito por)数研出版 (Casa editorial de)20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento)Libro (Formato) 今日も2次関数のB問題を進めていこう。問30からだ。(1)は普通に場合分けをして絶対値を外せばいい。(2)がこの問題のポイントとなるところだろう。【1】\(x\ge a\)のとき、\(a\ge \frac { 1 }{ 2 } \)の場合と\(a<\frac { 1 }{ 2 } \)の場合で最小値\(m\left( a \right) \)が異なるので、場合分けする。同様に【2】\(x<a\)のときは、\(a>-\frac { 1 }{ 2 } \)の場合と\(a\le -\frac { 1 }{ 2 } \)の場合で場合分けが必要だ。そしたら\(a\ge \frac { 1 }{ 2 } \)、\(-\frac { 1 }{ 2 } <a<\frac { 1 }{ 2 } \)、\(a\le -\frac { 1 }{ 2 } \)の場合で【1】と【2】のそれぞれの差をとってどちらがより小さいかを明らかにし、関数\(f\left( x \right) \)の最小値\(m\left( a \right) \)を求めることになる。僕はグラフを見てなんとなく直感で解いたが、それではダメだったんだな。しっかり場合分けが必要みたいだ。(3)は(2)がちゃんと解けていれば簡単だ。 次は問31。Primero(1)。今\(a\)、\(b\)、\(x\)、\(y\)全てが正の実数なので、以下の不等式 $$\frac { x }{ a } \le \frac { y }{ b } $$ の両辺に\(ab\)をかけたり、2乗したりしても、不等号の向きは変わらないし、通常は2乗することで生じる余計な解が含まれることもない。あとは条件式を利用して\({ y }^{ 2 }\)を消去すればいい。(2)は(1)から\(0\le x\le \frac { a }{ \sqrt { { a }^{…
- チャート式 数学1 part15【図形と計量編】 砂田 利一 (Escrito por) 数研出版 (Casa editorial de) 20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento) Libro (Formato) 今日も解いていきます。 問48からだ。 ヒントにあるように\(\sin { \theta } =\tan { \theta } \cos { \theta } \)に気づくと、\(f\left( \theta \right) \)が積の形に変形できるので、これを利用する。 (1)は普通に解けばいい。 (2)は\(f\left( \theta \right)<0 \)なので、積の2つの項が\(0\)より大きいものと小さいものである場合である。 あとは\(0°<\theta <180°\)（ただし\(\theta \neq 90°\)）のとき、\(\tan { \theta } <1\)となるのは\(0°<\theta <45°\)、\(90°<\theta <180°\)に注意して解くといい。 僕はうっかりミスしてしまった。 気をつけないといけないな。 次は問49。 これは $$\sin ^{ 2 }{ x } +\cos ^{ 2 }{ x } =1$$ $$\sin ^{ 2 }{ y } +\cos ^{ 2 }{ y } =1$$ という公式を使うと、変数が4つで式が4本になるので連立させていくと方程式が解ける。 僕は以下のような三角関数の合成の公式を使って解いた。 $$a\sin { \theta } +b\cos { \theta } =\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \sin { \left( \theta +\alpha…
