砂田 利一 (Escrito por)
数研出版 (Casa editorial de)
20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento)
Libro (Formato)
今日も解いていきます。
問12からだ。
ヒントによると\(x\)に関する2次方程式の解がすべて有理数となる条件は、判別式\(D\)が平方数であることだという。
え～っと、2次方程式\(a{ x }^{ 2 }+bx+c=0\)の解は、解の公式を用いて次式で表される。
$$x=\frac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a }=\frac { -b\pm \sqrt { D } }{ 2a }\tag{1} $$
有理数とは分数\(\frac { m }{ n } \)（\(m\)、\(n\)は整数、\(n\neq 0\)）の形で表される数であるという。
たしかに、\(a\)、\(b\)、\(c\)が整数のとき、\(\sqrt { D } \)が有理数なら\(x\)は有理数になる。
\(\sqrt { D } \)が無理数なら有理数\(+\)無理数で\(x\)は無理数だな。
En cuanto a mí
$${ m }^{ 2 }-28={ l }^{ 2 }$$
（\(l\)は\(0\)以上の整数）とおいて、\(m\)の範囲を\(2\sqrt { 7 } \le m\le 14\)と見つけてから、総当たりで探していった。
sin embargo、回答を見るともっと簡単なやり方があったようだ。
$${ m }^{ 2 }-{ l }^{ 2 }=28$$
$$\left( m+l \right) \left( m-l \right) =28$$
として、\(m\)が自然数、\(l\)が\(0\)以上の整数であることと、\(m+l\)、\(m-l\)の差が偶数であり両者は奇数または偶数であることから、\(m+l=14\)、\(m-l=2\)と決まってしまうらしい。
こっちのほうが分かりやすいな。
次は問13。
A問題が終了ということで、ちょっと難しくなるのだろうか。
まぁやっていこう。
(1)は普通に計算すればいいな。
(2)も
$$ac+bd=1\tag{1}$$
$$ad-bc=0\tag{2}$$
これら2式に\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)をかけて足したり引いたりして変形すると答えが求まる。
そして問14。
(1)は簡単。
(2)は分からなくて迷った。
ヒントには平方の差を作ると書いてあるが、う～ん？
しばらく悩んだがやはり分からなかったので答えを見た。
なんだ、そういうことだったのか。
係数が実数の範囲で因数分解するとは下のようなことをすればよかったらしい。
$$\begin{eqnarray*}{ x }^{ 6 }+1&=&\left( { x }^{ 2 }+1 \right) \left( { x }^{ 4 }-{ x }^{ 2 }+1 \right)\\
&=&\left( { x }^{ 2 }+1 \right) \left\{ { \left( { x }^{ 2 }+1 \right) }^{ 2 }-3{ x }^{ 2 } \right\}\\
&=&\left( { x }^{ 2 }+1 \right) \left( { x }^{ 2 }+\sqrt { 3 } x+1 \right) \left( { x }^{ 2 }-\sqrt { 3 } x+1 \right) \end{eqnarray*} $$
$$\begin{eqnarray*}{ x }^{ 8 }+1&=&{ \left( { x }^{ 4 }+1 \right) }^{ 2 }-2{ x }^{ 4 }\\ &=&{ \left( { x }^{ 4 }+\sqrt { 2 } { x }^{ 2 }+1 \right) }^{ 2 }{ \left( { x }^{ 4 }-\sqrt { 2 } { x }^{ 2 }+1 \right) }^{ 2 }\\ &=&\left\{ { \left( { x }^{ 2 }+1 \right) }^{ 2 }-\left( 2-\sqrt { 2 } \right) { x }^{ 2 } \right\} \left\{ { \left( { x }^{ 2 }+1 \right) }^{ 2 }-\left( 2+\sqrt { 2 } \right) { x }^{ 2 } \right\} \\ &=&\left( { x }^{ 2 }+\sqrt { 2-\sqrt { 2 } } x+1 \right) \left( { x }^{ 2 }-\sqrt { 2-\sqrt { 2 } } x+1 \right) \end{eqnarray*} $$
$$ \left( { x }^{ 2 }+\sqrt { 2+\sqrt { 2 } } x+1 \right) \left( { x }^{ 2 }-\sqrt { 2+\sqrt { 2 } } x+1 \right)$$
これは分からなかったな、覚えておこう。
今日はここで終わりにする。
Artículos relacionados
- チャート式 数学1 part15【図形と計量編】 砂田 利一 (Escrito por) 数研出版 (Casa editorial de) 20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento) Libro (Formato) 今日も解いていきます。 問48からだ。 ヒントにあるように\(\sin { \theta } =\tan { \theta } \cos { \theta } \)に気づくと、\(f\left( \theta \right) \)が積の形に変形できるので、これを利用する。 (1)は普通に解けばいい。 (2)は\(f\left( \theta \right)<0 \)なので、積の2つの項が\(0\)より大きいものと小さいものである場合である。 あとは\(0°<\theta <180°\)（ただし\(\theta \neq 90°\)）のとき、\(\tan { \theta } <1\)となるのは\(0°<\theta <45°\)、\(90°<\theta <180°\)に注意して解くといい。 僕はうっかりミスしてしまった。 気をつけないといけないな。 次は問49。 これは $$\sin ^{ 2 }{ x } +\cos ^{ 2 }{ x } =1$$ $$\sin ^{ 2 }{ y } +\cos ^{ 2 }{ y } =1$$ という公式を使うと、変数が4つで式が4本になるので連立させていくと方程式が解ける。 僕は以下のような三角関数の合成の公式を使って解いた。 $$a\sin { \theta } +b\cos { \theta } =\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \sin { \left( \theta +\alpha…
- Gráfico Fórmula Matemáticas 1 parte3 [Ecuaciones y desigualdad] 砂田 利一 (Escrito por) 数研出版 (Casa editorial de) 20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento) Libro (Formato) 今日も問題を解いていこう。 問8からだ。 (1)では与えられた方程式が\(x=0\)のときには成り立たないので、\(x\neq 0\)と分かる。 よってこの方程式を\({ x }^{ 2 }\)で割ることができる。 あとは普通に解けばいいな。 (2)は実数解を求めよとのこと。 判別式\(D\)が\(D\ge 0\)のとき2次方程式は実数解を持つ。 これに注意して計算すればOKだ。 そして問9。 Aのポンプから注がれる水の量を\(x\)(L/h)、Bのポンプから注がれる水の量を\(y\)(L/h)、貯水池の水の総量を\(z\)(L)などとおく。 このとき、\(x,y>0\)ser。 あとは方程式を2つ立てて\(z\)を消去し、\(x\)を\(y\)で表す。 求める時間は\(\frac { z }{ y } \)で表されて、これに代入すれば終わりだな。 しかし僕は途中で計算ミスをして間違えてしまった。 気をつけないといけない。 次は問10。 ヒントによるとこの条件式は比例式というもので、比例式\(=k\)などとおいて、\(x\)、\(y\)、\(z\)についての連立方程式とみて、\(x\)、\(y\)、\(z\)を\(k\)で表せばいいらしい。 あとは代入して計算すればいい。 僕はヒントを見落としていたので、\(k\)とはおかずに\(y\)、\(z\)を\(x\)で表して解いた。 まぁそれでもいいだろうけど、比例式は\(k\)とおくのが鉄則みたいだな。 最後に問11。 \(Ax=0\)が\(x=0\)でない解を持つなら、\(A\)は正則行列でないということを大学の線形代数の講義で学んだ気がする… つまり\(A\)は逆行列を持たないということだ。 $$\begin{pmatrix} 1-k & 2 \\ 3 & 2-k \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right) $$ 上の式で\(A=\begin{pmatrix} 1-k & 2 \\ 3 & 2-k \end{pmatrix}\)として、逆行列を持たないとき\(\Delta =\left( 1-k \right) \left( 2-k \right) -6=0\)ser。 これで\(k\)が求まる。 ヒントにあるように、行列を使わないで普通に\(y\)を消去して\(Ax=0\)として、\(x\neq 0\)の解をもつならば、\(A=0\)としても同じことか。 今日はここで終わり～。
- チャート式 数学1 part5【方程式と不等式編】 砂田 利一 (Escrito por) 数研出版 (Casa editorial de) 20031 de abril de 2016 (Fecha de lanzamiento) Libro (Formato) 今日も進めていくぞ～。 問15からだ。 (1)は解の公式を利用して解を求め、誘導にしたがって因数分解すればいい。 (2)は\(P\left( x,y \right) =0\)を、\(x\)についての2次方程式と考えて解の公式で解く。 そして\(x=f\left( y \right) \)、\(x=g\left( y \right) \)とすると、\(P\left( x,y \right) =\left\{ x-f\left( y \right) \right\} \left\{ x-g\left( y \right) \right\} \)と因数分解できる。 今、\(P\left( x,y \right)\)が\(x\)、\(y\)についての1次式の積として表されるので、解の公式で求められた解の\(\sqrt { } \)内の\(y\)についての2次式が、\(y\)の1次式の平方数（2乗）の形にならないといけない。 このとき\(y\)についての2次式は重解をもち、判別式\(D=0\)ser。 これから\(k\)が求まる。 最初は\(P\left( x,y \right) =0\)を\(x\)についての2次式とみて解を求め、次は出てきた解の\(y\)についての2次式に注目して判別式を利用するというおもしろい問題だった。 あと気になったのは $$x=\frac { -\left( 4+y \right) \pm \sqrt { { \left( 3y+2 \right) }^{ 2 } } }{ 2 } ,\frac { -\left( 4+y \right) \pm \sqrt { { \left( 3y-2 \right) }^{ 2 } } }{ 2 } $$ となったときの根号（\(\sqrt { } \)）部分の計算についてだ。 通常は絶対値を付けて\(\left| 3y+2 \right| \)、\(\left| 3y-2 \right| \)とする。…
