Related Posts

• Chart Formula Mathematics 1 part12 [Secondary Function Edition] Toshikazu Sunada (Written by) Zuken Publishing Co., Ltd. (Publishing House) 2003April 1, 2016 (Release date) Hardcover (Format) 今日で2次関数編がラストだ。 問36からやっていこう。 ヒントにあるように以下のようにする。 $$\begin{eqnarray*}f\left( x \right) &=&{ x }^{ 2 }-ax+b-\left( -{ x }^{ 2 }-bx+a \right) \\ &=&2{ x }^{ 2 }-\left( a-b \right) x-\left( a-b \right) \end{eqnarray*}$$ そして\(a-b=t\left( t\neq 0 \right) \)And so on and so on、\(f\left( x \right) \)について\(f\left( x \right) <0\)を満たす実数\(x\)が必ず存在するので、2次関数の頂点の\(y\)座標は\(0\)より小さい。 よって\(T>0\)、\(T<-8\)となる。 あとはヒントにあるように放物線\(y=f\left( x \right) \)の軸は直線\(x=\frac { T }{ 4 } \)なのでこの軸に最も近い整数を考えればいい。 僕はここから悩んでしまって、次のようにした。 \(\frac { T }{ 4 } \)に最も近い整数は、 $$t=4k\left(kは0,-1,-2を除く整数 \right)のときはn=k$$ $$4k<t\le 4k+2\left(kは-1,-2を除く整数 \right)のときはn=k$$ $$4k+2<T< 4\left( k+1 \right) \left(kは-1,-2を除く整数 \right)のときはn=k+1$$ そして\(x=n\)を\(f\left( x \right)\)に代入すると\(f\left( x \right)\)は\(t\)の1次式と見ることができる。 あとは考えている\(t\)の範囲において、これまた\(k\)の範囲についても考慮しながら最大値の議論をしていくと、\(f\left( n \right) \le -2\)または\(f\left( n \right) < 0\)と分かり、題意を満たす整数\(n\)が必ず存在すると分かった。 解くのにかなり時間がかかってしまった… 実際の試験だったら時間がかかりすぎてしまって、僕は明らかにこの問題を解けていないだろう。 However、正答例ではもっと簡単に解いていた。 $$T<-8のときf\left( -2 \right) =8+t<0$$…
• Chart Type Mathematics A part2 [Several In Case] Takaaki Yanagawa (Written by)Zuken Publishing Co., Ltd. (Publishing House)2003April 1, 2016 (Release date)Hardcover (Format) 今日も場合の数の問題を解いていくぞ～問6からだ。Oh well、It's a matter of combinations and circular permuting.。Different(n\)個のものの円順列の総数は\(\left( n-1 \right) !\)represented by。You can use this to solve it.。 And question 7。I made a mistake in this problem.。(1)、(2)Both、simply right four、I calculated it as a permutable to sort the top four.。By the way、Permutables that contain the same are represented by the following formula:。\(n\)Out of 10、同じものがそれぞれ\(p\)Pieces、\(q\)Pieces、\(r\)When there is one、これらを\(n\)What is the total number of permutables to be arranged?、 $${ _{ n }{ C }_{ P }\times }{ _{ n-p }{ C }_{ q }\times }{ _{ n-p-q }{ C }_{ r }=\frac { n! }{ P!q!r! } }\quad \left( p+q+r=n \right) $$ But、Now we're going to find a rectangular path.。This route is in the shape of a triangle.。 According to the answer example(1)3 squares sideways as a temporary road、Think of a three-square-length rectangular path。And、Point C、D、E、They set an F。And then、The path from point C to point D is right 3.、Because it is a permuting of the top three、it's officially required earlier。The rest is an extra route.、(Route through point E)\(+\)(Route through point F)\(-\)(Path through points E and F together)seeking as、It's good to pull.。Hmm.、I see. (2)It's hard to do it all the time.。Point P according to the answer example、Q、R、Establish S。and divided in the following four cases。 Pを通る経路 Qを通り、Pを通る経路 Rを通り、Qを通らない経路 Sを通り、Rを通らない経路 このようにすると、They are so、It's like it counts without duplication.。I didn't know this.。If the problem of such a route is focused on which point to pass, should it be parted?。 Next is Question 8.。6It's a matter of how to get on a boat that can take up to four people.。When distinguishing people、If you don't and you want to distinguish a boat、ask for four combinations if you don't。(1)if you don't distinguish between people and boats.、Only the number of people who share as hinted at is a problem.。(4)The (3)\(\div 2!\)It's like it's to。I solved it by the case、The answer became the same.。Well, I guess that's the way it is.。 Next is Question 9.。(1)is a matter of simple combinations。But、As for me(2)、(3)I made this wrong again.。"Is it a duplicate combination problem?" I thought, "I'm not going to do that."、It was a duplicate permuting problem.。ちなみに重複組合せで\(n\)個の異なるものから重複を許して\(r\)個をとる組合せの数は\({ _{ n+r-1 }{ C }_{ r } }\)represented by。\(n-1\)個の仕切りと\(r\)it's the number of permutings of 0 pieces.。Duplicate permuting, on the other hand,、Different(n\)個のものから重複を許して\(r\)In permuting to take out the pieces、\({ n }^{ r }\)required in。(2)It's easy to use.、(3)even if you're not(2)If you pull from, you will be asked。分からなかったな～ 最後に問10。It's a binary theorem problem.。二項定理とは\({ \left( a+b \right) }^{ n }\)の展開式の一般項（第r+1番目の項）が\({ _{ n }{ C }_{ r } }{ a }^{ n-r }{ B }^{ r }\)is to be written with。(1)You can use this to solve it.。(2)According to the hint, it seems to be good as follows。\({ x }^{ k }\)の係数を\({ a }_{ k }\)They go to。そして\(\frac…
• Chart Type Mathematics A part3 [Several In Case] Takaaki Yanagawa (Written by)Zuken Publishing Co., Ltd. (Publishing House)2003April 1, 2016 (Release date)Hardcover (Format) From today, I will solve the general exercise B problem of Chapter 1 "Number of Cases"。First of all, it's question 11.。(A)From the conditions of、Positive integer(m\)は\(2\)を素因数にもたず、\(9={ 3 }^{ 2 }\)を因数にもつと分かる。(1)は背理法で証明すればいい。\(m\)の正の約数で素数となるものが3つ以上あるとする。それらを\(3\)、\(p\)、\(q\)、…とする。ただし\(p\)、\(q\)、…は\(5\)以上の素数である。すると\(m\)は以下のように素因数分解される。 $$m={ 3 }^{ k }{ P }^{ a }{ q }^{ B }\cdot \cdots \quad \left( k\ge 2,\quad a\ge 1,\quad b\ge 1,\quad \cdots \right) $$ このとき\(m\)の正の約数の個数は次式で表される。 $$\left( k+1 \right) \left( a+1 \right) \left( b+1 \right) \cdots $$ Now、これは\(12\)以上となり、条件(B)に適さない。よって\(m\)の正の約数で素数となるものは高々2個だ。I see. (2)は\(m\)の正の約数となる素数が、 \(3\)のみ \(3\)と\(5\)以上の素数\(p\) の場合の2通りを考えればいい。おもしろい問題だったな。 次は問12。(1)The 、僕は以下の4通りに分けて計算して足し合わせて、暗証番号の総数から引いた。 同じ番号が2つずつの2組がある場合 同じ番号が2つの1組がある場合 同じ番号が3つ続く場合 同じ番号が4つ続く場合 だが、解答例を見ると同じ数字が続かない番号の個数ということで、\(10\times 9\times 9\times 9\)と簡単に求められるみたいだ。そういうものか。 (2)はヒントによると\(0\sim 9\)は対等である。よって\(a=0\)の場合を数えて10倍すれば答えが出るらしい。解き方としては以下の3通りに分けて数え上げればいいとのことだ。 \(b=2\)In the case of \(b=8\)In the case of \(b=3,4,\cdots , 7\) As for me、ヒントがないとこれは気付かなかっただろう。う～ん、難しいな。 その次は問13。同じものを含む順列の問題だ。(1)The (両端の文字が異なる)\(=\)(全体)\(-\)(両端の文字が同じ)、として解けばいい。(2)は以下のように場合分けする。 文字が全て異なるとき 同じ文字2個を1組だけ含むとき 同じ文字を2個ずつ2組含むとき 同じ文字を3個含むとき この問題は解きやすいほうだったかな。 最後に問14。As in the hint、\(x\)座標から\(S\)、\(T\)の回数の和が、\(y\)座標から\(S\)、\(T\)の回数の差が分かる。(2)、(3)について僕は樹形図を書いて解いた。そんなに複雑でないので力技でも解けるみたいだ。題意を満たすように解くと、点\(\left( 1,1 \right) \)から点\(\left( 7,1 \right) \)へ移る途中に、ある点Pで\(x\)軸上にあるとする。このとき、点P以降の経路で\(S\)と\(T\)を入れ替えると点\(\left( 7,-1 \right) \)に移ることを利用するという。\(S\)と\(T\)を入れ替えても、同じものを含む順列の個数は変わらないからな。点P以前の経路は共通でなので、(点P以前の経路の数)\(\times \)(点P以降の経路の数)は等しい。結局点Pから\(x\)軸を通って点\(\left( 7,1 \right) \)へ移る場合と、点Pから点\(\left( 7,-1 \right) \)に移る場合は同じ場合の数となるみたい。ちょっと分かりにくい問題だった。 今日はこれで終わりにする。