Category: University entrance exam problem

  Toshikazu Sunada (Written by) Zuken Publishing Co., Ltd. (Publishing House) 2003April 1, 2016 (Release date) Hardcover (Format) 今日も進めていくぞ～。 問15からだ。 (1)は解の公式を利用して解を求め、誘導にしたがって因数分解すればいい。 (2)は\(P\left( x,y \right) =0\)を、\(x\)についての2次方程式と考えて解の公式で解く。 そして\(x=f\left( y \right) \)、\(x=g\left( y \right) \)とすると、\(P\left( x,y \right) =\left\{ x-f\left( y \right) \right\} \left\{ x-g\left( y \right) \right\} \)と因数分解できる。 Now、\(P\left( x,y \right)\)が\(x\)、\(y\)についての1次式の積として表されるので、解の公式で求められた解の\(\sqrt { } \)内の\(y\)についての2次式が、\(y\)の1次式の平方数（2乗）の形にならないといけない。 このとき\(y\)についての2次式は重解をもち、判別式\(D=0\)They are。 これから\(k\)が求まる。 最初は\(P\left( x,y \right) =0\)を\(x\)についての2次式とみて解を求め、次は出てきた解の\(y\)についての2次式に注目して判別式を利用するというおもしろい問題だった。 あと気になったのは $$x=\frac { -\left( 4+y \right) \pm \sqrt { { \left( 3y+2 \right) }^{ 2 } } }{ 2 } ,\frac { -\left( 4+y \right) \pm \sqrt { { \left( 3y-2 \right) }^{ 2 } } }{ 2 } $$ となったときの根号（\(\sqrt { } \)）部分の計算についてだ。 通常は絶対値を付けて\(\left| 3y+2 \right| \)、\(\left| 3y-2 \right| \)とする。 そして\(y\)の値について場合分けして絶対値を外すことになるだろう。 しかし今回は解に\(\pm\)がついているので、場合分けをしなくても結果は同じになるみたいだ。 $$\pm \sqrt { { \left( 3y+2 \right) }^{ … Continue readingChart Formula Mathematics 1 Part 5 [Equations and Inequalities]

Toshikazu Sunada (Written by)Zuken Publishing Co., Ltd. (Publishing House)2003April 1, 2016 (Release date)Hardcover (Format) I'll figure it out today.。問12からだ。ヒントによると\(x\)に関する2次方程式の解がすべて有理数となる条件は、判別式\(D\)が平方数であることだという。え～っと、2次方程式\(a{ x }^{ 2 }+bx+c=0\)の解は、解の公式を用いて次式で表される。 $$x=\frac { -b\pm \sqrt { { B }^{ 2 }-4ac } }{ 2a }=\frac { -b\pm \sqrt { D } }{ 2a }\tag{1} $$ 有理数とは分数\(\frac { m }{ n } \)（\(m\)、\(n\)は整数、\(n\neq 0\)）の形で表される数であるという。たしかに、\(a\)、\(b\)、\(c\)が整数のとき、\(\sqrt { D } \)が有理数なら\(x\)は有理数になる。\(\sqrt { D } \)が無理数なら有理数\(+\)無理数で\(x\)は無理数だな。As for me $${ m }^{ 2 }-28={ l }^{ 2 }$$ （\(l\)は\(0\)以上の整数）とおいて、\(m\)の範囲を\(2\sqrt { 7 } \le m\le 14\)と見つけてから、総当たりで探していった。However,、回答を見るともっと簡単なやり方があったようだ。 $${ m }^{ 2 }-{ l }^{ 2 }=28$$ $$\left( m+l \right) \left( m-l \right) =28$$ として、\(m\)が自然数、\(l\)が\(0\)以上の整数であることと、\(m+l\)、\(m-l\)の差が偶数であり両者は奇数または偶数であることから、\(m+l=14\)、\(m-l=2\)と決まってしまうらしい。こっちのほうが分かりやすいな。 次は問13。A問題が終了ということで、ちょっと難しくなるのだろうか。まぁやっていこう。(1)は普通に計算すればいいな。(2)も $$ac+bd=1\tag{1}$$ $$ad-bc=0\tag{2}$$ これら2式に\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)をかけて足したり引いたりして変形すると答えが求まる。 そして問14。(1)は簡単。(2)は分からなくて迷った。ヒントには平方の差を作ると書いてあるが、う～ん？しばらく悩んだがやはり分からなかったので答えを見た。なんだ、そういうことだったのか。係数が実数の範囲で因数分解するとは下のようなことをすればよかったらしい。 $$\begin{eqnarray*}{ x }^{ 6 }+1&=&\left( { x }^{ 2 }+1 \right) \left( { x }^{ 4 }-{ x }^{ 2 … Continue readingChart Equation Mathematics 1 Part4 [Equations and Inetheles]

   Toshikazu Sunada (Written by) Zuken Publishing Co., Ltd. (Publishing House) 2003April 1, 2016 (Release date) Hardcover (Format) 今日も問題を解いていこう。 問8からだ。 (1)では与えられた方程式が\(x=0\)のときには成り立たないので、\(x\neq 0\)と分かる。 よってこの方程式を\({ x }^{ 2 }\)で割ることができる。 あとは普通に解けばいいな。 (2)は実数解を求めよとのこと。 判別式\(D\)が\(D\ge 0\)のとき2次方程式は実数解を持つ。 これに注意して計算すればOKだ。 そして問9。 Aのポンプから注がれる水の量を\(x\)(L/h)、Bのポンプから注がれる水の量を\(y\)(L/h)、貯水池の水の総量を\(z\)(L)などとおく。 このとき、\(x,y>0\)They are。 あとは方程式を2つ立てて\(z\)を消去し、\(x\)を\(y\)で表す。 求める時間は\(\frac { z }{ y } \)で表されて、これに代入すれば終わりだな。 しかし僕は途中で計算ミスをして間違えてしまった。 気をつけないといけない。 次は問10。 ヒントによるとこの条件式は比例式というもので、比例式\(=k\)And so on and so on、\(x\)、\(y\)、\(z\)についての連立方程式とみて、\(x\)、\(y\)、\(z\)を\(k\)で表せばいいらしい。 あとは代入して計算すればいい。 僕はヒントを見落としていたので、\(k\)とはおかずに\(y\)、\(z\)を\(x\)で表して解いた。 まぁそれでもいいだろうけど、比例式は\(k\)とおくのが鉄則みたいだな。 最後に問11。 \(Ax=0\)が\(x=0\)でない解を持つなら、\(A\)は正則行列でないということを大学の線形代数の講義で学んだ気がする… つまり\(A\)は逆行列を持たないということだ。 $$\begin{pmatrix} 1-k & 2 \\ 3 & 2-k \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right) $$ 上の式で\(A=\begin{pmatrix} 1-k & 2 \\ 3 & 2-k \end{pmatrix}\)として、逆行列を持たないとき\(\Delta =\left( 1-k \right) \left( 2-k \right) -6=0\)be。 これで\(k\)が求まる。 As in the hint、行列を使わないで普通に\(y\)を消去して\(Ax=0\)として、\(x\neq 0\)の解をもつならば、\(A=0\)としても同じことか。 Today is the end of here!。

   Toshikazu Sunada (Written by) Zuken Publishing Co., Ltd. (Publishing House) 2003April 1, 2016 (Release date) Hardcover (Format) 今日も進めていきます。 今回は問4からだ。 式を因数分解せよということで(1)-(10)まで式が10題並んでいる。 面倒だが計算するか。 (6)、(9)では以下の公式を使った。 $${ \left( a+b \right) }^{ 3 }={ a }^{ 3 }+3{ a }^{ 2 }b+3a{ B }^{ 2 }+{ B }^{ 3 }$$ $${ \left( a-b \right) }^{ 3 }={ a }^{ 3 }-3{ a }^{ 2 }b+3a{ B }^{ 2 }-{ B }^{ 3 }$$ $${ a }^{ 3 }+{ B }^{ 3 }=\left( a+b \right) \left( { a }^{ 2 }-ab+{ B }^{ 2 } \right) $$ $${ a }^{ 3 }-{ B }^{ 3 }=\left( a-b \right) \left( { a }^{ 2 }+ab+{ B }^{ 2 } \right) $$ これでがんばって解いた。 次は問5。 これは分母を有理化したりすればOKだな。 … Continue readingChart Formula Mathematics 1 part2 [Equations and Inequality]

   Toshikazu Sunada (Written by) Zuken Publishing Co., Ltd. (Publishing House) 2003April 1, 2016 (Release date) Hardcover (Format) Good、I'm going to start this collection of questions today~。 Let's start with Chapter 1, "Equations and Inequalities"。 Question 1、It is said that it is a problem of Doshisha Women's University。 This is just a matter of expanding the expression。 It's a hassle to calculate.。 \({ x }^{ 5 }\)The coefficient of is (-19\)、\({ x }^{ 3 }\)The coefficient of is (-23\)だろう。 ほい、正解～。 According to the commentary、全部を展開しなくてもその次数の項にだけ注目すればいいみたい、I see。 次は第2問。 同志社大の問題だ。 (1)は条件式から $$xyz=3\left( xy+yz+xz \right)\tag{1} $$ となり、あとは普通に与えられた式を展開して(1)式を代入すれば、都合よく\(\left( xy+yz+xz \right)\)section disappears and the answer comes out。 (2)According to the hint、 $${ x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }+{ z }^{ 3 }-3xyz=left( x+y+z right) \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }-xy-yz-zx right) $$ It seems to use the formula that。 If we transform this equation into、 $${ x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }+{ z }^{ 3 }={ \left( x+y+z right) }^{ 3 }-3\left( x+y+z right) \left( xy+yz+zx \right) +3xyz $$ このようになって、The rest(1)と同様に式を代入すれば\({ x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }+{ z }^{ 3 }\)が求まる。 最後は問3。 … Continue readingChart Equation Mathematics 1 Part1 [Equations and Inetheles]