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• Chart Formula Mathematics 1 part12 [Secondary Function Edition] Toshikazu Sunada (Written by) Zuken Publishing Co., Ltd. (Publishing House) 2003April 1, 2016 (Release date) Hardcover (Format) 今日で2次関数編がラストだ。 問36からやっていこう。 ヒントにあるように以下のようにする。 $$\begin{eqnarray*}f\left( x \right) &=&{ x }^{ 2 }-ax+b-\left( -{ x }^{ 2 }-bx+a \right) \\ &=&2{ x }^{ 2 }-\left( a-b \right) x-\left( a-b \right) \end{eqnarray*}$$ そして\(a-b=t\left( t\neq 0 \right) \)And so on and so on、\(f\left( x \right) \)について\(f\left( x \right) <0\)を満たす実数\(x\)が必ず存在するので、2次関数の頂点の\(y\)座標は\(0\)より小さい。 よって\(T>0\)、\(T<-8\)となる。 あとはヒントにあるように放物線\(y=f\left( x \right) \)の軸は直線\(x=\frac { T }{ 4 } \)なのでこの軸に最も近い整数を考えればいい。 僕はここから悩んでしまって、次のようにした。 \(\frac { T }{ 4 } \)に最も近い整数は、 $$t=4k\left(kは0,-1,-2を除く整数 \right)のときはn=k$$ $$4k<t\le 4k+2\left(kは-1,-2を除く整数 \right)のときはn=k$$ $$4k+2<T< 4\left( k+1 \right) \left(kは-1,-2を除く整数 \right)のときはn=k+1$$ そして\(x=n\)を\(f\left( x \right)\)に代入すると\(f\left( x \right)\)は\(t\)の1次式と見ることができる。 あとは考えている\(t\)の範囲において、これまた\(k\)の範囲についても考慮しながら最大値の議論をしていくと、\(f\left( n \right) \le -2\)または\(f\left( n \right) < 0\)と分かり、題意を満たす整数\(n\)が必ず存在すると分かった。 解くのにかなり時間がかかってしまった… 実際の試験だったら時間がかかりすぎてしまって、僕は明らかにこの問題を解けていないだろう。 However、正答例ではもっと簡単に解いていた。 $$T<-8のときf\left( -2 \right) =8+t<0$$…