チャート式 数学A part1【場合の数編】
今日から数学Aの総合演習問題を解いていくぞ～
まずは第1章「場合の数」だ。
ヒントを見ながら進めていく。
問1。
(1)は奇数番目が必ず奇数になるので、5個の奇数から3個の数字を選ぶ順列と残り6個の数字から2個を選ぶ順列を考える。
すると、積の法則を使って以下のように解ける。
(2)では奇数が必ず奇数番目にあるものを考える。
- 奇数が1個の場合
- 奇数が2個の場合
- 奇数が3個の場合
この3つの場合に分ける。
これらの事象は同時には起こらないので排反である。
よって和の法則を用いて、これらを足し合わせればよい。
次は問2。
これは条件から、万の位と一の位に\(0\)がくることはないとまず分かる。
またヒントを見ると、
（どれかの位が奇数になる場合の数）\(=\)（全体の場合の数）\(-\)（全ての位が偶数の場合の数）であると分かる。
さらに、偶数\(=\)偶数\(+\)偶数か、偶数\(=\)奇数\(+\)奇数である。
このようなことを考えれば解ける。
その次は問3だ。
(1)は7個の数字から4個選んで並べてできた4桁の整数について、一の位の数が千の位の数より大きいような整数の個数を求める。
千の位が\(0\)ではないことに注意して、僕は千の位が\(1\)の場合、\(2\)の場合…と考えて解いた。
もっと簡単に、一の位と千の位は\(1\sim 6\)から2個を選び、大きい方を一の位、小さい方を千の位としてもいいらしい。
その選び方は\({ _{ 6 }{ C }_{ 2 } }\)通りだ。
あとは百と十の位を考える。
(2)も僕は(1)と同様に場合分けして解いた。
だがヒントによると、十の位が百の位より大きい整数と、百の位が十の位より大きい整数は同じ個数だけあるので、（全体の個数）\(\div 2\)としても求められるらしい。
そういうものなのかね？
(3)はヒントによると、\(5310\)より大きい整数ということで、\(531□ \)、\(532□ \)、\(534□ \)、\(536□ \)、\(54□□ \)、\(56□□\)、\(6□□□\)の場合をそれぞれ考えればよい。
さらに問4。
(1)と(2)は組合せを考えればよく、簡単だ。
(3)を僕は間違えてしまった。
2つの頂点が正十角形\(A\)の頂点で、他の1つが対角線の交点である三角形については、(2)の四角形を考えればいいらしい。
この四角形1つから求める三角形が4つできる。
あとは(2)で求めた四角形の個数をかければいい。
これはなかなか気づかないな～。
最後に問5。
ヒントによると、一筆書きをするとき、奇点（経路が奇数個集まっている点）を含む場合、出発点は奇点の一方で、終点は他方の奇点であるという。
なので今の場合、書き始める位置は2通りだ。
あとは輪っかをどの順序で描くか、輪っかを右回りと左回りのどちらで描くかを考慮して答えが求められる。
答えである一筆書きの仕方の総数が意外と多いのが印象的だった。
まぁ僕はこの問題も間違えたんですけどね。
今日はここまで。
また次回進めていこう。
