チャート式 数学1 part13【図形と計量編】
第3章「図形と計量」に進んだ。
総合演習をAから解いていこう。
三角比とかが出題されるみたいだな。
まずは問38。
僕はいろいろな公式を使って式を変形して解いた。
以下のようなものだ。
$$\sin ^{ 2 }{ \alpha =\frac { 1-\cos { 2\alpha } }{ 2 } } $$
$$\cos ^{ 2 }{ \alpha =\frac { 1+\cos { 2\alpha } }{ 2 } } $$
$$\sin { \left( 90°-\alpha \right) } =\cos { \alpha } $$
$$\cos { \left( 90°-\alpha \right) } =\sin { \alpha } $$
だが、今\(\alpha =22.5°\)なので\(3\alpha =90°-\alpha \)、\(5\alpha =180°-3\alpha \)、\(7\alpha =180°-\alpha \)であることに注目すれば、式が\(\sin { \alpha } \)、\(\cos { \alpha } \)のみで表されて、もっと簡単になったみたいだ。
次は問39。
以下の公式を用いて、変形していけば簡単に解ける。
$$\sin ^{ 2 }{ \theta + } \cos ^{ 2 }{ \theta =1 } $$
$${ a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 }={ \left( a+b \right) }^{ 3 }-3ab\left( a+b \right) $$
そして問40。
これは与えられた式を変形して、\(\sin { \theta } \)についての2次式とする。
あとは\(\sin { \theta } =t\)などとおいて、\(t\)の範囲に気をつけて最大値を求めればいい。
簡単簡単。
その次は問41だ。
これは正弦定理、加法定理を使って計算すればいいだろう。
使った公式は以下のようなものだ。
$$\frac { a }{ \sin { A } }= \frac { b }{ \sin { B } }= \frac { c }{ \sin { C } } =2R$$
$$\sin { \left( \alpha +\beta \right) =\sin { \alpha } \cos { \beta } +\cos { \alpha } \sin { \beta } } $$
一方で、解答例では頂点Aから対角線BDに垂線を下して計算していた。
これを第1余弦定理と言うらしい。
$$a=b\cos { C } +c\cos { B } $$
$$a=c\cos { A } +a\cos { C } $$
$$a=a\cos { B } +b\cos { A } $$
まぁそのようにしてもいいだろう。
最後に問42。
僕は三角形の面積についての公式と余弦定理（第2余弦定理）を使って解いた。
以下のような公式だ。
$$S=\frac { 1 }{ 2 } bc\sin { A } =\frac { 1 }{ 2 } ca\sin { B } =\frac { 1 }{ 2 } ab\sin { C } $$
$${ a }^{ 2 }={ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }-2bc\cos { A } $$
$${ b }^{ 2 }={ c }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }-2ca\cos { B } $$
$${ c }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-2ab\cos { C } $$
正答例では角の二等分線の性質を利用して解いていた。
\(\angle A\)の二等分線がADのとき、\(BD:CD=AB:AC\)というやつだ。
なるほど。
今日はここで終わりにしよう。
A問題ということでまだまだ今回は簡単だったな。
