今日も2次関数のB問題を進めていこう。
問30からだ。
(1)は普通に場合分けをして絶対値を外せばいい。
(2)がこの問題のポイントとなるところだろう。
【1】\(x\ge a\)のとき、\(a\ge \frac { 1 }{ 2 } \)の場合と\(a<\frac { 1 }{ 2 } \)の場合で最小値\(m\left( a \right) \)が異なるので、場合分けする。
同様に【2】\(x<a\)のときは、\(a>-\frac { 1 }{ 2 } \)の場合と\(a\le -\frac { 1 }{ 2 } \)の場合で場合分けが必要だ。
そしたら\(a\ge \frac { 1 }{ 2 } \)、\(-\frac { 1 }{ 2 } <a<\frac { 1 }{ 2 } \)、\(a\le -\frac { 1 }{ 2 } \)の場合で【1】と【2】のそれぞれの差をとってどちらがより小さいかを明らかにし、関数\(f\left( x \right) \)の最小値\(m\left( a \right) \)を求めることになる。
僕はグラフを見てなんとなく直感で解いたが、それではダメだったんだな。
しっかり場合分けが必要みたいだ。
(3)は(2)がちゃんと解けていれば簡単だ。

次は問31。
まずは(1)。
今\(a\)、\(b\)、\(x\)、\(y\)全てが正の実数なので、以下の不等式

の両辺に\(ab\)をかけたり、2乗したりしても、不等号の向きは変わらないし、通常は2乗することで生じる余計な解が含まれることもない。
あとは条件式を利用して\({ y }^{ 2 }\)を消去すればいい。
(2)は(1)から\(0\le x\le \frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 } } } \)のとき、\(\min { \left\{ \frac { x }{ a } ,\frac { y }{ b } \right\} } =\frac { x }{ a } \)である。
また(1)と同様に\(0\le y\le \frac { b }{ \sqrt { { a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 } } } \)のとき、\(\min { \left\{ \frac { x }{ a } ,\frac { y }{ b } \right\} } =\frac { y }{ b } \)となる。
これより最大値を求めればいいだろう。

そして問32。
これはおもしろい問題だった。
ヒントにあるように、条件(A)から、ある実数\(a\)に対して\(f\left( a \right) <0\)が成り立つとき、\(f\left( x \right)\)の最小値\(<0\)である。
また条件(B)から、任意の整数\(n\)に対して\(f\left( n \right) \ge 0\)となるとき、最小値を与える\(x\)に最も近い整数\(x\)で\(f\left( x \right) \ge 0\)である。
\(p\)、\(q\)が素数であることに注意して計算していくと以下の不等式が導かれる。

(1)式から\(4q={ p }^{ 2 }-1\)と求められる。
したがって、

となり、\(\frac { p-1 }{ 2 } \)、\(\frac { p+1 }{ 2 } \)は連続した2つの整数で、\(q\)は素数であるから、\(q=2\)、\(p=3\)となる。
なるほどな～。
総合演習Bはやっぱり少し難しくなっているみたい。