今日から第1章「場合の数」の総合演習B問題を解いていく。
まずは問11からだ。
(A)の条件から、正の整数\(m\)は\(2\)を素因数にもたず、\(9={ 3 }^{ 2 }\)を因数にもつと分かる。
(1)は背理法で証明すればいい。
\(m\)の正の約数で素数となるものが3つ以上あるとする。
それらを\(3\)、\(p\)、\(q\)、…とする。
ただし\(p\)、\(q\)、…は\(5\)以上の素数である。
すると\(m\)は以下のように素因数分解される。

このとき\(m\)の正の約数の個数は次式で表される。

今、これは\(12\)以上となり、条件(B)に適さない。
よって\(m\)の正の約数で素数となるものは高々2個だ。
なるほどな～

(2)は\(m\)の正の約数となる素数が、

1. \(3\)のみ
2. \(3\)と\(5\)以上の素数\(p\)

の場合の2通りを考えればいい。
おもしろい問題だったな。

次は問12。
(1)は、僕は以下の4通りに分けて計算して足し合わせて、暗証番号の総数から引いた。

1. 同じ番号が2つずつの2組がある場合
2. 同じ番号が2つの1組がある場合
3. 同じ番号が3つ続く場合
4. 同じ番号が4つ続く場合

だが、解答例を見ると同じ数字が続かない番号の個数ということで、\(10\times 9\times 9\times 9\)と簡単に求められるみたいだ。
そういうものか。

(2)はヒントによると\(0\sim 9\)は対等である。
よって\(a=0\)の場合を数えて10倍すれば答えが出るらしい。
解き方としては以下の3通りに分けて数え上げればいいとのことだ。

1. \(b=2\)の場合
2. \(b=8\)の場合
3. \(b=3,4,\cdots , 7\)

僕は、ヒントがないとこれは気付かなかっただろう。
う～ん、難しいな。

その次は問13。
同じものを含む順列の問題だ。
(1)は(両端の文字が異なる)\(=\)(全体)\(-\)(両端の文字が同じ)、として解けばいい。
(2)は以下のように場合分けする。

1. 文字が全て異なるとき
2. 同じ文字2個を1組だけ含むとき
3. 同じ文字を2個ずつ2組含むとき
4. 同じ文字を3個含むとき

この問題は解きやすいほうだったかな。

最後に問14。
ヒントにあるように、\(x\)座標から\(S\)、\(T\)の回数の和が、\(y\)座標から\(S\)、\(T\)の回数の差が分かる。
(2)、(3)について僕は樹形図を書いて解いた。
そんなに複雑でないので力技でも解けるみたいだ。
題意を満たすように解くと、点\(\left( 1,1 \right) \)から点\(\left( 7,1 \right) \)へ移る途中に、ある点Pで\(x\)軸上にあるとする。
このとき、点P以降の経路で\(S\)と\(T\)を入れ替えると点\(\left( 7,-1 \right) \)に移ることを利用するという。
\(S\)と\(T\)を入れ替えても、同じものを含む順列の個数は変わらないからな。
点P以前の経路は共通でなので、(点P以前の経路の数)\(\times \)(点P以降の経路の数)は等しい。
結局点Pから\(x\)軸を通って点\(\left( 7,1 \right) \)へ移る場合と、点Pから点\(\left( 7,-1 \right) \)に移る場合は同じ場合の数となるみたい。
ちょっと分かりにくい問題だった。

今日はこれで終わりにする。