柳川 高明 (著)
数研出版 (出版社)
2003年4月1日 (発売日)
単行本 (形式)

今日も場合の数の問題を解いていくぞ～
問6からだ。
これはまあ、組合せと円順列の問題だな。
異なる\(n\)個のものの円順列の総数は\(\left( n-1 \right) !\)で表される。
これを使って解けばいい。

そして問7。
僕はこの問題を間違えてしまった。
(1)、(2)ともに、単純に右4、上4を並び替える順列などとして計算したのだ。
ちなみに、同じものを含む順列は以下の式で表される。
\(n\)個のうち、同じものがそれぞれ\(p\)個、\(q\)個、\(r\)個あるとき、これらを\(n\)個並べる順列の総数は、

だが、これでは長方形の経路を求めることになってしまう。
今回の経路は三角形の形をしているのだ。

解答例によると(1)は仮の道として横3マス、縦3マスの四角形の道を考える。
そして、点C、D、E、Fを定める。
すると、点Cから点Dに進む経路は右3、上3の順列なので、さっきの公式で求められる。
あとは余分な経路を、(点Eを通る経路)\(+\)(点Fを通る経路)\(-\)(点EとFをともに通る経路)として求めて、引けばいいらしい。
ふむふむ、なるほどな～

(2)はまたややこしい。
解答例によると点P、Q、R、Sを定める。
そして以下の4つの場合で場合分けする。

1. Pを通る経路
2. Qを通り、Pを通る経路
3. Rを通り、Qを通らない経路
4. Sを通り、Rを通らない経路

このようにすると、もれなく、重複なく数えられるらしい。
これは分からなかった。
このような経路の問題はどの点を通るかに着目して場合分けすればいいのかな。

次は問8。
6人が4人まで乗れるボート2そうに分乗するときの乗り方の問題だ。
人を区別する場合、しない場合とボートを区別する場合、しない場合の4通りの組合せを求める。
(1)は人もボートも区別しない場合だが、ヒントにあるように分乗する人数だけを問題にすればいい。
(4)は(3)\(\div 2!\)となるらしい。
僕は場合分けして解いたが、答えは同じになった。
まぁそういうものかな。

その次は問9。
(1)は単純な組み合わせの問題だ。
だが、僕は(2)、(3)をこれまた間違えてしまった。
「重複組合せの問題かな？」と思って考えたのだが、重複順列の問題だったらしい。
ちなみに重複組合せで\(n\)個の異なるものから重複を許して\(r\)個をとる組合せの数は\({ _{ n+r-1 }{ C }_{ r } }\)で表される。
\(n-1\)個の仕切りと\(r\)個の〇の順列の数というやつだ。
一方重複順列は、異なる\(n\)個のものから重複を許して\(r\)個を取り出す順列で、\({ n }^{ r }\)で求められる。
(2)はこれを使えば簡単で、(3)も場合分けして(2)から引けば求められる。
分からなかったな～

最後に問10。
二項定理の問題だ。
二項定理とは\({ \left( a+b \right) }^{ n }\)の展開式の一般項（第r+1番目の項）が\({ _{ n }{ C }_{ r } }{ a }^{ n-r }{ b }^{ r }\)と書けることである。
(1)はこれを使って解けばいい。
(2)はヒントによると次のようにすればいいらしい。
\({ x }^{ k }\)の係数を\({ a }_{ k }\)とおく。
そして\(\frac { { a }_{ k+1 } }{ { a }_{ k } } \)と\(1\)\の大小関係を調べるのだ。
すると\(k\)の範囲に応じて\({ a }_{ k }\)と\({ a }_{ k+1 }\)の大小関係が分かり、展開式における最大係数が求まる。
これはきれいに解ける問題だったな。

今回もけっこう間違えてしまったが、とにかくこれで場合の数の総合演習A問題が終わった。
次回は難しくなりそうだが、がんばろう。