砂田 利一 (著)
数研出版 (出版社)
2003年4月1日 (発売日)
単行本 (形式)
今日も解いていきます。
問12からだ。
ヒントによると\(x\)に関する2次方程式の解がすべて有理数となる条件は、判別式\(D\)が平方数であることだという。
え～っと、2次方程式\(a{ x }^{ 2 }+bx+c=0\)の解は、解の公式を用いて次式で表される。
$$x=\frac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a }=\frac { -b\pm \sqrt { D } }{ 2a }\tag{1} $$
有理数とは分数\(\frac { m }{ n } \)（\(m\)、\(n\)は整数、\(n\neq 0\)）の形で表される数であるという。
たしかに、\(a\)、\(b\)、\(c\)が整数のとき、\(\sqrt { D } \)が有理数なら\(x\)は有理数になる。
\(\sqrt { D } \)が無理数なら有理数\(+\)無理数で\(x\)は無理数だな。
僕は
$${ m }^{ 2 }-28={ l }^{ 2 }$$
（\(l\)は\(0\)以上の整数）とおいて、\(m\)の範囲を\(2\sqrt { 7 } \le m\le 14\)と見つけてから、総当たりで探していった。
しかし、回答を見るともっと簡単なやり方があったようだ。
$${ m }^{ 2 }-{ l }^{ 2 }=28$$
$$\left( m+l \right) \left( m-l \right) =28$$
として、\(m\)が自然数、\(l\)が\(0\)以上の整数であることと、\(m+l\)、\(m-l\)の差が偶数であり両者は奇数または偶数であることから、\(m+l=14\)、\(m-l=2\)と決まってしまうらしい。
こっちのほうが分かりやすいな。
次は問13。
A問題が終了ということで、ちょっと難しくなるのだろうか。
まぁやっていこう。
(1)は普通に計算すればいいな。
(2)も
$$ac+bd=1\tag{1}$$
$$ad-bc=0\tag{2}$$
これら2式に\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)をかけて足したり引いたりして変形すると答えが求まる。
そして問14。
(1)は簡単。
(2)は分からなくて迷った。
ヒントには平方の差を作ると書いてあるが、う～ん？
しばらく悩んだがやはり分からなかったので答えを見た。
なんだ、そういうことだったのか。
係数が実数の範囲で因数分解するとは下のようなことをすればよかったらしい。
$$\begin{eqnarray*}{ x }^{ 6 }+1&=&\left( { x }^{ 2 }+1 \right) \left( { x }^{ 4 }-{ x }^{ 2 }+1 \right)\\
&=&\left( { x }^{ 2 }+1 \right) \left\{ { \left( { x }^{ 2 }+1 \right) }^{ 2 }-3{ x }^{ 2 } \right\}\\
&=&\left( { x }^{ 2 }+1 \right) \left( { x }^{ 2 }+\sqrt { 3 } x+1 \right) \left( { x }^{ 2 }-\sqrt { 3 } x+1 \right) \end{eqnarray*} $$
$$\begin{eqnarray*}{ x }^{ 8 }+1&=&{ \left( { x }^{ 4 }+1 \right) }^{ 2 }-2{ x }^{ 4 }\\ &=&{ \left( { x }^{ 4 }+\sqrt { 2 } { x }^{ 2 }+1 \right) }^{ 2 }{ \left( { x }^{ 4 }-\sqrt { 2 } { x }^{ 2 }+1 \right) }^{ 2 }\\ &=&\left\{ { \left( { x }^{ 2 }+1 \right) }^{ 2 }-\left( 2-\sqrt { 2 } \right) { x }^{ 2 } \right\} \left\{ { \left( { x }^{ 2 }+1 \right) }^{ 2 }-\left( 2+\sqrt { 2 } \right) { x }^{ 2 } \right\} \\ &=&\left( { x }^{ 2 }+\sqrt { 2-\sqrt { 2 } } x+1 \right) \left( { x }^{ 2 }-\sqrt { 2-\sqrt { 2 } } x+1 \right) \end{eqnarray*} $$
$$ \left( { x }^{ 2 }+\sqrt { 2+\sqrt { 2 } } x+1 \right) \left( { x }^{ 2 }-\sqrt { 2+\sqrt { 2 } } x+1 \right)$$
これは分からなかったな、覚えておこう。
今日はここで終わりにする。
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